概率论和数理统计公式大全2.docVIP

随机变量的数字特征 （1）一维随机变量的数字特征 ? 离散型 连续型 期望 期望就是平均值 设X是离散型随机变量，其分布律为P( )＝pk，k=1,2,…,n， ? （要求绝对收敛） 设X是连续型随机变量，其概率密度为f(x)， ? （要求绝对收敛） 函数的期望 Y=g(X) ? ??????? Y=g(X) ? 方差 D(X)=E[X-E(X)]2， 标准差 ， ? ? ? ? ? 矩 ①对于正整数k，称随机变量X的k次幂的数学期望为X的k阶原点矩，记为vk,即 νk=E(Xk)= , k=1,2, …. ②对于正整数k，称随机变量X与E（X）差的k次幂的数学期望为X的k阶中心矩，记为 ，即 ? = ， k=1,2, …. ①对于正整数k，称随机变量X的k次幂的数学期望为X的k阶原点矩，记为vk,即 νk=E(Xk)= ?k=1,2, …. ②对于正整数k，称随机变量X与E（X）差的k次幂的数学期望为X的k阶中心矩，记为 ，即 ? = k=1,2, …. 切比雪夫不等式 设随机变量X具有数学期望E（X）=μ，方差D（X）=σ2，则对于任意正数ε，有下列切比雪夫不等式 ? 切比雪夫不等式给出了在未知X的分布的情况下，对概率 ? 的一种估计，它在理论上有重要意义。 （2）期望的性质 （1）?????? E(C)=C （2）?????? E(CX)=CE(X) （3）?????? E(X+Y)=E(X)+E(Y)， （4）?????? E(XY)=E(X) E(Y)，充分条件：X和Y独立； ???????????????????????? 充要条件：X和Y不相关。 （3）方差的性质 （1）?????? D(C)=0；E(C)=C （2）?????? D(aX)=a2D(X)；? E(aX)=aE(X) （3）?????? D(aX+b)= a2D(X)；? E(aX+b)=aE(X)+b （4）?????? D(X)=E(X2)-E2(X) （5）?????? D(X±Y)=D(X)+D(Y)，充分条件：X和Y独立； ??????????????????????????? 充要条件：X和Y不相关。 ????????? D(X±Y)=D(X)+D(Y) ±2E[(X-E(X))(Y-E(Y))]，无条件成立。 而E(X+Y)=E(X)+E(Y)，无条件成立。 （4）常见分布的期望和方差 ? 期望 方差 0-1分布 p ? 二项分布 np ? 泊松分布 ? ? 几何分布 ? ? 超几何分布 ? ? 均匀分布 ? ? 指数分布 ? ? 正态分布 ? ? ? n 2n t分布 0 (n2) （5）二维随机变量的数字特征 期望 ? ? ? ? 函数的期望 ＝ ? ＝ ? 方差 ? ? ? ? ? 协方差 对于随机变量X与Y，称它们的二阶混合中心矩 为X与Y的协方差或相关矩，记为 ，即 ? 与记号 相对应，X与Y的方差D（X）与D（Y）也可分别记为 与 。 相关系数 对于随机变量X与Y，如果D（X）0, D(Y)0，则称 ? 为X与Y的相关系数，记作 （有时可简记为 ）。 ??? | |≤1，当| |=1时，称X与Y完全相关： 完全相关 而当 时，称X与Y不相关。 以下五个命题是等价的： ① ； ②cov(X,Y)=0; ③E(XY)=E(X)E(Y); ④D(X+Y)=D(X)+D(Y); ⑤D(X-Y)=D(X)+D(Y). 协方差矩阵 ? 混合矩 对于随机变量X与Y，如果有 存在，则称之为X与Y的k+l阶混合原点矩，记为；k+l阶混合中心矩记为： ? （6）协方差的性质 (i)????????????? cov (X, Y)=cov (Y, X); (ii)????????? cov(aX,bY)=ab cov(X,Y); (iii)?????? cov(X1+X2, Y)=cov(X1,Y)+cov(X2,Y); (iv)????????????? cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y). （7）独立和不相关 （i）?????????????????? 若随机变量X与Y相互独立，则 ；反之不真。 （ii）?????????????? 若（X，Y）～N（ ）， 则X与Y相互独立的充要条件是X和Y不相关。 第五章? 大数定律和中心极限定理 （1）大数定律 ? 切比雪夫大数定律 设随机变量X1，X2，…相互独立，均具有有限方差，且被同一常数C所界：D（Xi）C(i=1,2,…),则对于任意的正数ε，有 ? ??? 特殊情形：若X1，X2，…具有相同的数学期望E（XI）=μ，则上式成为 ? 伯努利大数定律 设μ是n次独立试验中事件A发