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数学物理方程反问题 麦宏晏 什么是反问题 耳朵能“听出”鼓的形状吗? 仅仅通过鼓的声音能否判断出鼓的形状?问题最早由丹 麦著名物理学家Lorentz在1910年的一次讲演中提出,它的 背景来自于射线理论。 一个物体的音色可以由一串谱 来确定,它们在 物理上对应着物体的固有频率。“盲人听鼓”即是要求通过已 知的谱来确定一个鼓面的形状。经过数学家们的演算给出了 否定的答案。但是,从鼓声中我们确实能得到相当多的形状 信息:我们能够“听”出鼓的面积有多大、周边有多长甚至鼓 的内部是否有洞、有几个洞。 个定向设计问题,它要求数学家利用推导和计算手段构造出所 需要的曲面(光栅)形状。 定向设计的应用相当广泛。比如说:一个城市的某条街道 车流量很大,不堪负荷,怎样通过铺设新的路段来进行分流? 在军事行动中如何对不同种类的炮火进行分布以达到特定的轰 炸效果?这类问题往往涉及各种事物的组合、分配布局,要求 在各种相互制约、相互影响的因素中寻找出最佳方案,为领导 的决策提供依据。 极低(只能探测到井附近的局部信息)。一个可行的办法是通 过地面爆炸向地下发射地震波,同时接收地层的反射波信号。 可以想象,地面接收到的反射信号中含有地下的物性结构信息 (地层的密度、声速等等),利用数学手段将这些信息提取出 来,就可以对地下的油储及其分布作出科学的判断。 类似的探测方法可以应用于许多方面,如:农用土壤分析 、地下水勘查,甚至于在考古发现上也有应用。位于三峡库区 的四川省云阳县故陵镇有一个大土包,相传为楚国古墓,但是 历经三千余年的变迁,已经难以确认了。科技工作者在地表利 用地震波法、高精度磁法、电场岩性探测和地化方法四种手段 进行探测,不但确认了古墓的存在,而且得到了关于古墓的埋 藏深度、形状、大小甚至墓道的准确信息,为抢救和保护文物 作出了贡献。 成像的另一个重要应用是医学上的计算机层析成像(CT),这是 X光射线自Roentgen发明(获1900年诺贝尔奖)以来在医疗诊断上 的重大进展,其发明人Hounsfield和Cormack因此获得了1979年的 诺贝尔医学奖。CT技术是医学、电子技术、计算机技术和反演数学 相结合的产物,它利用计算机来对穿越人体的X射线信号进行处理, 来重建体内的结构信息,生成透视图象供医疗诊断参考,其核心算 法的数学基础是二维Radon变换。继之而起的是基于三维Radon变 换的核磁共振成像,在诊断效果和无伤害性方面更为优越。事实上 ,类似的方法也可以借助于声波、光波、电磁波在无损探伤、雷达 侦察、射电望远镜探测、环境监测等多方面有广泛应用。 反问题的研究起源于数理方程,反问题的研究也促进了人们 对世界的识。一个著名的例子是反散射方法在孤立子发现中的作 用:反散射问题是量子物理学研究中的一个问题,通过谱和谱函 数在无穷远处的散射性态反推一维Schordinger方程的位势函数。 它由前苏联数学家Gelfand和Levitan(1955年)一举解决。在 此基础上引发了一系列突破性进展,最为著名的是利用这个结果 Lax(1968年)得到了关于KDV方程的巧妙解法,从而发现了 非线性方程中的孤立子现象。这是近代非线性科学研究的重要事 件。 具体实例 例1 金融学中的一个简单计息反问题 在通常利率的连续复利率模型中,投资变化的百分率是 一个给定的常利率,用微分方程表示为 其中 是 时刻投资价值,由此导出价值的指数增长模型 在变化利率模型中,利率与时间有关,即 ,于是有 ,给定与时间有关的利率和初值 ,求价值记 录 的问题称为正问题;另一方面,由价值记录求变化率的 问题称为反问题。注意这里正问题的求解是积分运算,这是 一个稳定的过程,而反问题的求解需要微分运算,是不稳定 的。我们通常感兴趣的是反问题,如果已知价值记录的解析 表达式,求 是一个简单的微分运算,对时间进行离散 ,用差商代替导数,则用 来近似 ,其中 。 直接从原始模型出发可以建立求反问题近似解的另一种 例2 热传导问题 与外界存在热交换的物体表面温度不能及时达到热平衡, 如果物体比外界热,热量从物体往外流出从而使物体冷却, 这一现象最简单的模型是牛顿冷却定律,即表面温度的变化 与物体表面和外界温度之差成比
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