特殊与一般思想的简单应用.docVIP

特殊与一般思想的简单应用 在解某些带有参数的与不等式有关的问题时，如果能够避开分类讨论，那是皆大欢喜的事情，下面就两个题来研究一下如何来避免分类讨论或减少分类讨论。 分析：解这个题时，如果不能注意到题的个性，而是按照轴不动区间动的一般解题思路来分类讨论，就需要分四种情况来处理， 这样的话会非常繁琐，也容易做错，如果注意到。因为f(x)在上是增函数，所以,m,n是的两根，解得m=-4,n=0. 2.已知在上恒成立，求实数a的取值范围。 思路1：常数分离 ； ， 可知 思路2：一般与特殊思想，由在上恒成立，可知 得到所以,缩小了a的范围 当a=0时，显然不成立 当a0时，，f(x)0在上是减函数，f(1)=a-20不满足题意。 当a0时，=可知所以，可得a=4. 这个题如果不利用满足一般就要满足特殊的思想方法，先去缩小啊a的取值范围，而是按部就班的去做，那就会陷入到盲目的讨论中，将会变得非常的复杂，这是我们所不愿见到的。用第一种方法解题时，我们也不要盲目的求导计算，而是要把某些函数先变形为比较简单的函数，再计算，可大大减少计算量。 3.（天津卷文20）已知函数f（x）=，其中a0. （Ⅰ）若a=1，求曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程； （Ⅱ）若在区间上，f（x）0恒成立，求a的取值范围. 【命题意图】本小题主要考查曲线的切线方程、利用导数研究函数的单调性与极值、解不等式等基础知识，考查运算能力及分类讨论的思想方法. 【解析】（Ⅰ）解：当a=1时，f（x）=，f（2）=3；f’(x)=, f’(2)=6.所以曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为y-3=6（x-2），即y=6x-9. （Ⅱ）解：f’(x)=.令f’(x)=0，解得x=0或x=. 以下分两种情况讨论： 若，当x变化时，f’(x)，f（x）的变化情况如下表： X 0 f’(x) + 0 - f(x) 极大值 当等价于， 解不等式组得-5a5.因此. 若a2，则.当x变化时，f’(x),f（x）的变化情况如下表： X 0 f’(x) + 0 - 0 + f(x) 极大值 极小值 当时，f（x）0等价于即，解不等式组得或.因此2a5.综合（1）和（2），可知a的取值范围为0a5. 上面是高考题的标准答案，看起来非常麻烦，学生需要用非常多当时就去做，下面我们可以用思路1来做一下： 解：(1)当x=0时，（2）当，令 （3）当 综上 思路2：用一般与特殊思想来做一下 f（x）=0在,可知f()0, f()0,即可得），则在 f（x）=0, 当x f（x）=-a---+1=0 综上可知，a的取值范围为。 思路2的解法避开了分类讨论，虽然有一定的偶然性，但我们做的题都是特殊的题，都有一定个性，如果只注重题的一般性，而不看它的特殊性，我们解起题来将会非常的不顺手。当然，在教学中，我们应该多传授一般方法，注重同性同法，但也要教给同学们探究新解法的理念，真正提升他们的数学素养。 4