关于施密特正交化的一点注释与应用.pdfVIP

21115年2月 安庆师范学院学报(自然科学版) Feb．2015 第21卷第 1期 JournalofAnqingTeachersCollege(NaturalScienceEdition) Vo1．2lNO．1 DOI：10．13757／j．cnki．cn34—1150／n．2015．01．030 关于施密特正交化的一点注释与应用 蔡 改 香 (安庆师范学院数学与计算科学学院，安徽 安庆246133) 摘 要：高等代数中求标准正交基、求正交阵都要用到施密特正交化。欧式空间的基中向量的位置不同，经过施密 特正交化所得到的标准正交基的结果也不同，并且计算量的大小也不同。用施密特正交化法求实对称矩阵的逆矩阵是 一 种新的方法。 关键词：基 ，标准正交基，施密特正交化 中图分类号：0151．21 文献标识码：A 文章编号：1007—4260(2015)01—0106—03 高等代数中，欧式空间的一组线性无关的向 是正交于子空间 ，即 正交于 的正交基 量张成一个子空间 lJ，那么这一组向量就称为这 。，：，…，0c，因此只要将．1B单位化，即 个子空间的一个基。施密特正交化提供了一种方 一 一 法，能够通过这一子空间上的一个基得出子空间 “一l I一厕 的一个正交基，并可进一步求出对应的标准正交 那么 ，2，…，Ot， 就是 在 上扩展的子 基。从几何上说，正交基就像一个欧式空间的直角 空间span{， ， ，…， }的标准正交基。根据 坐标系，比如三维空间的 轴，Y轴，z轴，没有正交 上面的分析，对于向量组Ot。，0c，…， 张成的空 化的就是非欧几何，如用 (1，0，0)，(1，1，0)，(1， 间span{ ， ，…， }，只要从其中的一个向量， 1，1)也可以作为一组基，但别的向量用这组基表 不妨设为 ，所张成的一维子空间span{o／。}开始 示不方便。其实用正交基的好处在于数值计算上， (注意到 { }就是 span{ }的正交基)，重复上 不用正交基的话计算不稳定，会随着计算过程逐 述扩展构造正交基的过程，就能够得到 的一组 步积累误差，可能会使得误差过大而使计算结果 正交基。这就是施密特正交化的思想。首先需要确 根本不可用，而正交基则不会发生这种问题。 定扩展正交基的顺序，不妨设为 。，a：，…，Ot，施 设 是 维欧氏空间，O／，口是 中的向量，记 密特正交化的过程如下…， (，／3)为 与卢的内积 ，span{l，ot2，…，ot}为 向量组 ot1，ot2，…， 张成 的子 空间，projB0[= 第一步：正交化 ＼P ，P ， 称为 在卢上的投影 。施密特正交化的 。=，卢：=：一丢 ， 基本想法，是利用投影原理在已有正交基的基础 。 一 ，… ， 上构造一个新的正交基。设Ot∈ ， 是