计算(裂项、换元和通项归纳).docVIP

计算（裂项、换元与通项归纳） 第一部分 裂项 【1】 计算 1＋2＋3＋4＋……＋20 ＝（1＋2＋3＋……＋20）＋（＋＋＋＋……＋） ＝210＋（＋＋＋＋……＋） ＝210＋（1－＋－＋－＋－－ ） ＝210＋（1－ ） ＝210 【2】 ＋＋＋＋＋ ＝＋＋＋＋＋ ＝（－＋－＋－＋－＋－＋－）× ＝（－）× ＝× ＝ 【3】计算 ＋＋＋＋＋＋ ＝＋＋（＋）＋（＋）＋（＋） ＋（＋）＋（＋） ＝（＋＋）＋（＋）＋（＋＋）＋（＋＋＋） ＝4 【4】计算：（此题用到公式） 1－－－……－ ＝1－－－－－……－ ＝1－（－）－（－）－（－）－（－）－……－（－） ＝1－1＋－＋－＋－＋－……－＋ ＝ 【5】计算： ________． 从这个题目我们可以归纳出一般性的结论。 1×2＋2×3＋3×4＋4×5＋……＋n(n＋1) ＝×1×2×3＋(×2×3×4－×1×2×3) ＋(×3×4×5－×2×3×4) ＋……＋ [n(n＋1)(n+2)－(n-1) n(n＋1)] ＝ n(n＋1)(n+2) 即： 另外，例6还有另外一种解法： 根据 所以 第二部分 换元 【6】计算：（＋＋）×（＋＋）－（＋＋＋）×（＋） 解：设a＝＋ b＝＋＋ 原式＝（＋a）b－（＋b）a ＝ b＋ab－ a－ab ＝× ＝9 【7】计算：（1＋＋＋……＋）×（＋＋……＋）－（1＋＋＋……＋）×（＋＋……＋） 解： 设a＝＋＋……＋ b＝＋＋……＋ 原式＝（1＋a）×b－（1＋b）×a ＝b＋ab－a－ab ＝b－a ＝ 第三部分 通项归纳 【8】计算： ＋＋＋……＋ 解：先推导出通项公式。 ɑɑan＝＝＝ 原式＝＋＋＋……＋ ＝2×（＋＋＋……＋） ＝2×（1－＋－＋－＋……＋－） ＝2×（1－） ＝2×＝ 【9】计算：×××……× ⑴先推导出通项公式an＝＝ n＝2、3、4、……、99 ⑵ ×××……× ＝×××……× ＝× ＝ 【10】计算1－＋－＋－＋－＋ ＝1－（＋）＋（＋）－（＋）＋（＋）－（＋） ＋（＋）－（＋）＋（＋） ＝1－－＋＋－－＋＋－－＋＋－－＋＋ ＝1－＋ ＝ 【11】计算：＋＋＋……＋ ＝＋＋＋……＋ ＝＋＋＋……＋ ＝（＋＋＋……＋）＋（＋＋＋……＋） ＝（＋＋＋……＋）＋（＋＋＋……＋） ＝×﹝－＋－＋－＋……＋－﹞＋﹝－＋－＋……＋－ ﹞ ＝×﹝－﹞＋﹝－﹞ ＝－＋－ ＝ 【12】计算：－＋－＋……＋ ⑴归纳通项公式an＝＝＝×（＋） ⑵ －＋－＋……＋ ＝×｛（＋）－（＋）＋（＋）－……－（＋）｝ ＝×（1－） ＝×＝ [13] 计算：1155×﹝＋＋……＋＋﹞ ⑴归纳通项公式an＝＝＋ （n=2、3、4、…、9） ⑵ 1155×﹝＋＋……＋＋﹞ ＝1155×﹝＋＋＋＋……＋＋﹞ ＝1155×｛﹝＋＋＋……＋﹞＋﹝＋＋……＋﹞｝ ＝1155×｛﹝－﹞＋﹝－＋－﹞×｝ ＝1155×｛＋﹝＋﹞×｝ ＝1155× ＝651 14、 ＋＋＋＋ ＝＋＋＋＋ ＝×（－＋－＋－＋－＋－） ＝×（－） ＝× ＝ 15、 ＋＋＋＋＋＋ ＝＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋ ＝（＋＋＋）＋×4＋＋×5 ＝3 16、 ． 分析：应用公式 原式 17、________． 解：令，，则 18、＋＋＋＋＋ 解：先推导出通项公式。 ɑɑan＝＝＝ 原式＝＋＋＋＋＋ ＝1－＋－＋－＋－ ＋－＋－ ＝1－ ＝ 19、＋＋＋……＋ 解：先推导出通项公式。 ɑɑan＝＝＝ 原式＝＋＋＋＋……＋＋ ＝（＋＋……＋）＋（＋＋……＋） ＝×（1－）＋×（－） ＝×＋× ＝ 20、 ＋＋＋＋＋＋＋＋ ＝＋＋＋＋＋（＋）＋（＋）＋（＋）＋（＋） ＝ ×3＋（＋）＋（＋＋）＋（＋＋）＋（＋） ＝1＋1＋1＋1＋1 ＝5 1