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第七章 共形映射 第7.1节 单叶解析函数的映射性质 单叶解析函数的映射性质 ---一般概念： 单叶解析函数的映射性质 例子： 引理1.1: 引理1.1: 引理1.1的证明： 定理1.1: 定理1.2、3: 定理1.3的证明: 定理1.3的证明: 定理1.4: 定理1.4的证明: 定理1.4的证明: 导数幅角的几何意义: 导数幅角的几何意义: 导数幅角的几何意义: 导数幅角的几何意义: 导数幅角的几何意义: 导数幅角的几何意义: 导数模的几何意义: 导数模的几何意义: 导数的几何意义: 导数的几何意义: It’s The End！ Thank You！ * * Department of Mathematics 解析函数所确定的映射是保形映射。它是复变函数论中最重要的概念之一，与物理中的概念有密切的联系，而且对物理学中许多领域有重要的应用。 如应用保形映射成功地解决了流体力学与空气动力学、弹性力学、磁场、电场与热场理论以及其他方面的许多实际问题。不但如此，20世纪中亚音速及超音速飞机的研制促成了从保形映射理论到拟保形映射理论的发展。 我们主要研究单叶解析函数的映射性质。设函数w=f(z)在区域内解析，并且在任意不同点，函数所取的值不同。那么我们就称它为区域的单叶解析函数，简称即为单叶函数。 注解1、单叶函数是确定一个单射的解析函数。 例1、函数w=z+a及w=az是z平面上的单叶解析函数它们把z平面映射成w平面， 其中a是复常数，并且对于第二个映射 。 例2、 在每个带形 内单叶解析，并且把这个带形映射成z平面上除去从原点出发的一条射线而得的区域，其中a是任意实常数。 注解2、上面的例子把z平面上的区域映射成w平面上的区域。 引理1.1 设函数f(z)在z=z0解析，并且w0 =f(z0), 设 那么f(z)-w0在z0有p阶零点，并且对充分小的正数 在 ，存在着一个正数 ，使得 在 内有p个一阶零点。 证明： f(z)-w0在z0有p阶零点是显然的。 由于f(z)不恒等于零，可以作出以z0为心的开圆盘， 其边界为C，使得f(z)在 并且使得f(z)-w0及f’(z)除去在z0外在上无其它零点。那么 其边界为C，使得f(z)在 上解析， 取w，使 现在应用儒歇定理，比较f(z)-w及f(z)-w0在内D的零点的个数。由于 而当 可见f(z)-w及f(z)-w0在D内的零点个数同为p（每个n阶零点作n个零点）。 这是因为 而当 时 这是因为 ，所以 这是因为 ，所以 ，而 定理1.1、设函数f(z)在区域D内单叶解析，那么在D内任一点， 证明：反证之。假定 那么由引理1.1，可得出与单叶相矛盾得结论。 注解1、如果一个函数在区域D内单叶解析，那么它的导数在D内任意一点不等于零； 注解2、反之，这个定理的逆定理不成立，例如 w=ez的导数在z平面上任意一点不为零，而这个 函数在整个z平面上不是单叶的。 定理1.2、设函数w=f(z)在z=z0解析，并且 定理1.3、设函数w=f(z)在区域D内解析，并且不恒等于常数，那么D1 =f(z)是一个区域，即f确定从D到D1的一个满射。 证明：先证明D1是开集，即证明任一点 是它的内点。设 由引理1.1，可以找到一个正数 那么f(z)在z0的一个邻域内单叶解析。 是它的内点。设 ，并且 。 ，使得对于任何满足 的复数w1，我们有 ，使得 。 因此开圆盘 包含在D1内，即w0是D1的内点。 其次我们证明的连通性，即证明在D1内任意不 同两点w1及w2可以用在D1的一条折线连接起来 我们有 ，使得 。 由于D是一个区域，在D内有折线 连接z1及z2，在这里 。 函数w=f(z)把这条折线上每一条线段映射成D1 内一条光滑曲线，从而把这折线映射成D1内连接w1及w2的一条光滑曲线： 另一方面，由于 是D1内的一个紧集，根据有限覆盖定理，它可以被D1内有限个开圆盘所覆盖， 从而在D1内可以作出w1及w2连接的折线 。 注解：如果w=f(z)在区域D内单叶解析，那么根据定理1.3，它把区域D双射成区域 于是f(z)有一个在D1内确定的反函数。 定理1.4设函数f(z)在区域D内单叶解析，并且 D1=f(D)那么w=f(z)有一个在D1内单叶解析的反函数， 并且如果