复变函数286505.pptVIP

第二章 解析函数 §1 解析函数的概念 §2 函数解析的充要条件 §3 初等函数 §1 解析函数的概念 一、复变函数的导数与微分 1.导数的定义 2.可导与连续的关系 3.求导法则 4.微分的概念 二、解析函数及其简单性质 1、解析函数的定义 2、奇点的定义 一、 复变函数的导数与微分 若记 ，则习惯记 判断函数可导与解析的方法 1、利用可导与解析的定义 判断函数在一点 处或区域 内是否解析关键在于判定该函数的可导性。 2、利用可导（解析）函数的和、差、积、商与复合仍为可导（解析）函数的性质。 显然，该函数在复平面内除 外处处可导，处处解析， 就是奇点。 3、利用可导与解析的充要条件（下一节） §2 函数解析的充要条件 一、柯西—黎曼条件 二、函数w=f(z)的在区域的可微性（解析性） 定理3：函数在区域D可微的充分条件 例3 三、小结 一、指数函数 定义 对于任意复数 ，规定 　　　　　　 为复指数函数． 显然指数函数满足 满足下列三个条件:1) 不等于零, 且 ； ；2) 当 时, , 其中 ；3) 在复平面处处内解析，且 （解析性）。 注意：为了方便, 往往用ez代替exp z. 这里的ez没有幂的意义, 仅仅作为代替exp z的符号使用。 所以 双曲函数 1.定义 三、对数函数 1、定义 方程 的根 称为 的对 数，记为 . 当 时，称 为主值（分支）. 注：区别 和 . 例 2、性质： （1）多值性：对数函数有无穷多个分支，其中主值支为： 其余分支为： （2）解析性：在除去原点和负实轴的 平面内处处解析，且 （3）保持了实变对数函数的如下性质： 例: 求Ln 2, Ln(-1)以及它们相应的主值.解: 因为Ln 2=ln 2+2kpi, 所以它的主值就是ln2. 而Ln(-1)=ln 1+iArg(-1)=(2k+1)pi(k为整数), 所以它的主值是ln(-1)=pi.注：在实变函数中, 负数无对数, 此例说明在复数范围内不再成立. 而且正实数的对数也是无穷多值的. 因此, 复变数对数函数是实变数对数函数的拓广. 四 、乘幂与幂函数 1.定义 乘幂 设 为不等于0的一个复数, b为任意一个复数, 定义乘幂 为 , 即 由于 是多值的, 因而 也是多值的. 说明: (1) 当b为整数时, 由于 ab =ebLna=eb[ln|a|+i(arg a+2kp)] =ea(ln|a|+iarg a)+2kbpi=eblna,所以这时 具有单一的值. 二. 函数w=f(z)的在区域的可微性（解析性）u(x,y),v(x,y)之间的关系 定理2 (函数在区域D内解析的充要条件) 例1 判定下列函数在何处可导, 在何处解析: 解 不满足柯西－黎曼方程, 四个偏导数均连续 指数函数 四个偏导数均连续 例2 解 补充题 解 课堂练习 答案 在本课中我们得到了一个重要结论—函数 解析的充要条件: §3 初等函数 一、 指数函数 二 、对数函数 三 、乘幂与幂函数 四 、三角函数和双曲函数 五 、反三角函数和反双曲函数 六、小结与思考 指数函数的周期是 ，k为任何整数。 4) 服从加法定理: （加法定理） 二 、 三角函数和双曲函数 i) cos z和sin z以 为周期；ii)cos z是偶函数，而sin z是奇函数。 iii)公式 由此得 cos(x+iy)=cosxcosiy-sinxsiniy, sin(x+iy)=sinxcosiy+cosxsiniy. 但当z为纯虚数iy时, 我们有 这两个公式对于计算cos z与s