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全国2008年7月复变函数与积分变换真题
一、单项选择题(本大题共10小题，每小题2分，共20分)
1．设z=，则为（ ）
A． B．C． D．
2．下列集合为有界闭区域的是（ ）
A．0 arg (z+3)≤ B．Re (z-i)1 C．1≤Imz≤2 D．1≤≤4
3．Ln(-4+3i)的主值是（ ）
A．ln5+i(-π-arctg) B．ln5+i(π-arctg)C．ln5+i(-π-arctg) D．ln5+i(π-arctg)
4．正弦函数sinz=（ ）
A． B．C． D．
5．复积分的值是（ ）
A．-（1-e-1）i B．e-1i C．（1-e-1）i D．-e-1i
6．复积分dz的值是（ ）
A．ei B．e-I C．2πiei D．2πie-i
7．z=0是函数的（ ）
A．本性奇点 B．可去奇点 C．一阶极点 D．二阶极点
8．Res=（ ）
A．- B． C．-2i D．2i
9．把Z平面上区域0θπ映射成W平面上的区域（ ）
A．-3π0 B．-0 C．0 D．03π
10．函数f(t)=的傅氏变换为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题(本大题共6小题，每小题2分，共12分
11.复数1-i的三角表达式是_________________.
12.tgz的所有零点为_________________.
13．=______________.
14．幂级数的收敛半径是____________.
15．设，则=___________.
16．分式线性映射把上半平面Imz0映射成___________.
三、计算题（本大题共8小题，共52分）
17．（本题6分）用与表示．
18．（本题6分）已知≠时为调和函数，求解析函数的导数，并将它表示成z的函数形式．
19．（本题6分）计算积分I=，其中C为从0到1+i的直线段．
20．（本题6分）将函数f(z)=ln(z2-3z+2)在z=0处展开为泰勒级数．
21．（本题7分）函数f(z)=x2-y2-x+i(2xy-y2)在复平面上何处可导？何处解析？
22．（本题7分）计算积分I=，其中C为正向圆周x2+y2-2x=0.
23．（本题7分）利用留数计算积分I=，其中C为正向圆周=2．
24．（本题7分）将函数在圆环域01内展开为罗朗级数．
四、综合题（下列３个小题中，第25题必做，第26、27题中只选做一题，若两题全做，以26题计分。每小题8分，共16分）
25．（1）求在上半平面内的所有孤立奇点．
（2）求在以上各孤立奇点的留数．
（3）利用以上结果计算积分I=．
26．设Z平面上区域D：2且1．试求以下保角映射:
（1）把D映射成W1平面上的带形域D1：Imω1;
（2）把D1映射成W2平面上的带形域D2：0Imω2π;
（3）把D2映射成W平面上的区域D3：Imω0;
（4）综合以上三步，求保角映射把D映射成Imω0.
27.（1）求sint的拉氏变换（sint）；
（2）设F（p）=，其中函数可导，且,求.
（3）利用拉氏变换求解常微分方程初值问题：
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