复变函数教案第二章.docVIP

章节名称：第二章 解析函数 学时安排：4学时 教学要求：使学生熟悉复变函数导数与解析函数的概念；掌握判断复变函数可导与解析的方法；熟悉复变量初等函数的定义和主要性质 教学内容：1，复变函数导数与解析函数的概念以及可导与解析的判别方法；2，复变初等函数定义及其主要性质 教学重点：复变函数的导数与解析函数等基本概念，判断复变函数可导与解析的方法；复变量初等函数的定义和主要性质 教学难点：函数解析的概念及判定方法 教学手段：课堂讲授 教学过程： 一、第二章 解析函数 §1、解析函数的概念 1，复变函数的导数与微分： （1）导数的定义； 设函数定义在区域内，为中的一点，点不出的范围。如果极限 存在，那么就说在可导。这个极限值称为在的导数，记作 注意：1）定义中的的方向是任意的； 2）如果在区域D内处处可导，就说在D内可导。 例1，求的导数 解 因为 所以 思考题，问是否可导？ （2）可导与连续 1）连续不一定可导。（解答上述思考题可得这一结论） 2）可导一定连续。 由函数在可导，则 即对于任给的，相应有一个，使得当时，有 令 那么 由此得 所以 即函数在连续。 （3）求导法则 由于复变函数中导数的定义与一元实变函数中导数的定义在形式上完全相同，而且复变函数中的极限运算法则也和实变函数中的一样，因而实变函数中的求导法则都可以不加更改地推广到复变函数中来，而且证法也是相同的，这里不再重复。 （4）微分 由上面的叙述可知，函数在可导，则 我们称为函数在点的微分，记作。如果函数在点的微分存在，则称函数在点可微。 注意：1）函数在可导与在点可微等价； 2）如果在区域D内处处可微，就说在D内可微。 2，解析函数的概念： （1）定义：如果函数在及的邻域内处处可导，那么称函数在解析。如果在区域D内处处解析，就说在D内解析。或称是D内的一个解析函数（全纯函数或正则函数）。 注意：1）如果函数在不解析，则称为的奇点； 2）函数在一点处解析和在一点处可导是两个不同等价的概念，函数在一点处解析比在一点处可导的要求要高得多； 3）函数在区域内解析和在区域内可导是等价的。 （2）应用举例： 例2，研究函数，和的解析性。 例3，研究函数的解析性。 注意：1）任何一个有理分析函数在不含分母为零的点的区域内是解析函数2）使分母为零的点是它的奇点。 §2、函数解析的充分必要条件 1，柯西-黎曼方程：函数满足， 2，定理1设函数定义在区域D内，则在D内一点可导的充分必要条件是：与在点可微，并且在该点满足柯西-黎曼方程：，。 注意： 。 3，定理2设函数在定义域D内解析的充分必要条件是：与在D内可微，并且满足柯西-黎曼方程：，。 4，应用举例 例1判断下列函数在何处可导，在何处解析： 1）；2）；3） 例2设函数。问常数取何值时， 在复平面内处处解析？ §3、初等函数 1，指数函数 1）定义：称为指数函数。 2）主要性质： (1(指数函数在复平面上处处解析； (2(当时，上述定义与实数集上定义的指数函数一致； (3(，； (4(；； (5(，这里为任一整数，这个等式说明指数函数是以为周期的周期函数。 2，对数函数 1）定义：我们定义对数函数是指数函数的反函数，即若 则称是的对数函数，记为。 2）对数函数为多值函数： 令，，于是 因而 故 即 称 为的主值。 3）主要性质： (1(对数函数在复平面上除原点及负实半轴之外处处解析； (2( 当时，； 当时，； (3(； ，； ； 4）应用举例： 例 求下列式子的值： (1( (2( 练习： (1( (2(已知，求 3，乘幂与幂函数 1）定义：我们定义乘幂为为；称（，为复常数）为的幂函数。 此定义为实数域中等式在复域中的推广。 2）主要性质： (1(幂函数在复平面上除原点及负实半轴之外处处解析； (2( 当是任一整数时，是单值函数； 当是有理数（即约分数）时，能取到；个不同的值，即当时所对应的值。 当是无理数或虚数时，有无限多个值。 4）应用举例： 例 求下列式子的值： (1( (2( 4，三角函数和反三角函数 1）定义：设为任一复变数，我们称以下两个函数 ， 分别为正弦函数和余弦函数。 其它的四个三角函数，我们可以通过，来定义如下： ； ； ； 2）三角函数的主要性质： (1(； (2(+=1 (3( (4( (5(， 其它三角函数可以照套实函数的类似公式。 3）反三角函数： 复变数的反三角函数是，，的反函数，分别记为 ，，。 5，双曲函数和反双曲函数 1）定义：将实变数双曲