复变函数1-4.pptVIP

Free Template from Free Template from 刘 鹏 工 程 数 学 复旦大学通信科学与工程系 光华楼东主楼1109 Tel: pliu@ * Free Template from * § 1.7 解析 解析(Analyticity)的定义： 若函数 f (z) 在点 z0及其邻域 内处处可导 则称f (z)在 z0点解析。 若函数 f (z) 在区域D内一切点都是可导的，则称则称f (z)在区域D 内是解析的(analytic)。 * Free Template from * 例1： 考察函数 w = |z|2是否解析 解：由于 u = x2+y2, v = 0 C－R条件仅当x=0且y=0时被满足。∴w仅在点 z=0可导，而在复平面处处不解析。 解析函数的例子见P.24，例2、例3 。 函数 在一点的可导与解析不等价 函数在区域上的可导与解析等价 * Free Template from * 复变函数在一点解析的条件 例如： 函数 f (z) = 1/z， z = 0 是一个奇点； 函数 f(z) = 1/[(z-1) (z-2)], z = 1、 z = 2是2个奇点。 奇点 ：z平面上使函数 f (z)不可导的点称为奇点 (singular point, [qí]) 必要条件 ：函数 f (z)在点z的?邻域内： 偏导数 ?u/ ?x、 ?u/ ?y、 ?v/ ?x与 ?v/ ?y存在 C－R条件成立 * Free Template from * 复变函数的解析的条件 充分条件 ：函数 f (z)在点z的?邻域内： 偏导数 ?u/ ?x、 ?u/ ?y、 ?v/ ?x与 ?v/ ?y存在且连续 C－R条件成立 充要条件 ：函数 f (z)在点z的?邻域内： 偏导数 ?u/ ?x、 ?u/ ?y、 ?v/ ?x与 ?v/ ?y存在，u与v连续 C－R条件成立 * Free Template from * 解析函数的性质 (1)??两个解析函数的和、差、积仍为解析函数； (2)??? 两个解析函数的复合函数仍为解析函数； (3)??? 一个解析函数不可能仅在一个点或一条曲线上解析； ? 所 有解析点的集合必为开集。 C-R条件的一种表示式： P.25 * Free Template from * § 1.6 导数 导数(Derivative)的定义： 存在, 则称 f (z) 在 z 可导, A称为f (z)在 z0 的 导数，记作：f’(z) 或 d f(z)/dz 注意： ? z ? 0 的方式是任意的 复变函数具有与实函数同样的求导法则 * Free Template from * 如何判断 复变函数可导 ？ 必要条件：f(z)在点z可导的必要条件是偏导数 ?u/ ?x、 ?u/ ?y、 ?v/ ?x与 ?v/ ?y存在，并且 柯西-黎曼条件(Cauchy- Riemann Equations) 充分条件：f(z)在点 z 可导的充分条件是 偏导数 ?u/ ?x、 ?u/ ?y、 ?v/ ?x与 ?v/ ?y在该点不仅存在，而且连续； C－R条件在该点成立。 * Free Template from * § 1.7 解析 解析(Analyticity)的定义： 若函数 f (z) 在点 z0及其邻域 内处处可导 则称f (z)在 z0点解析。 若函数 f (z) 在区域D内一切点都是可导的，则称则称f (z)在区域D 内是解析的(analytic)。 * Free Template from * 复变函数在一点解析的条件 奇点 ：z平面上使函数 f (z)不可导的点称为奇点 (singular point, [qí]) 必要条件 ：函数 f (z)在点z的?邻域内： 偏导数 ?u/ ?x、 ?u/ ?y、 ?v/ ?x与 ?v/ ?y存在 C－R条件成立 * Free Template from * 复变函数的解析的条件 充分条件 ：函数 f (z)在点z的?邻域内： 偏导数 ?u/ ?x、 ?u/ ?y、 ?v/ ?x与 ?v/ ?y存在且连续 C－R条件成立 充要条件 ：函数 f (z)在点z的?邻域内： 偏导数 ?u/ ?x、 ?u/ ?y、 ?v/ ?x与 ?v/ ?y存在，u与v连续 C－R条件成立 * Free Template from * § 1.8 解析函数与调和函数的关系 调和函数(Harmonic Function)的定义： 拉普拉斯方程（法，1749-1827，Laplace’s Equation)的解称为调和函数 用于描述热平衡态、