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复变函数——定义 邻域－定义1.1　点的邻域指： 聚点、内点、孤立点－定义1.2　给定点集，及点。称为的聚点或极限点指：的任一邻域内都有的无穷多个点。 若，但非的聚点，则称为的孤立点; 若，又非的聚点，则称为的外点。若有一邻域全含于内，则称为的内点。若的任一邻域内，同时有属于和不属于的点，则称为的边界点。边界点的全体称为的边界。记作。开集、闭集－定义1.3　若点集的每个聚点都属于，则称为闭集；若点集的点皆为内点，则称为开集。有界性－定义1.4　点集称为有界集，若使有。区域－定义1.5　非空开集称为区域，若是连通的，即：中任意两点可用全在中的折线连接。 闭域－定义1.6　区域加上它的边界称为闭域，记为：。约当曲线－定义1.7　设是实变数的两个实函数，在闭区间上连续，则由方程　　　　　　　　　 所决定的点集，称为复平面上的一条连续曲线。上式称为的参数方程分别称为的起点和终点 。 单连通区域－定义1.8　设为复平面上的区域，若在内无论怎样划简单闭曲线，其内部仍全含于，则称为单连通区域；非单连通区域称为多连通区域。 复变函数－定义1.9　设为一复数集，若对内每一复数，有唯一确定的复数与之对应，则称在上确定了一个单值函数。 若对内每一复数，有几个或无穷多个与之对应，则称在上确定了一个多值函数。复变函数的极限－定义1.10　设，为的聚点。若存在一复数，使，， 只要，就有 　　　　　　　　　则称沿于有极限，并记为。 连续函数－定义1.11　设子点集上有定义，为的聚点，且。若 　　　　　　　　　即对任给的，，只要，，就有 　　　　　　　　　则称沿于连续。复球面　复平面加上点后称为扩充复平面，与它对应的就是整个球面，称为复球面。无穷远点　考虑平面上一个以原点为心的圆周，在球面上对应的也是一个圆周。当圆周的半径越大时，圆周就越趋北极。北极可以看成是与平面上的一个模为无穷大的假想点相对应，这个假想点称为无穷远点，并记为。 主要定理 约当定理－定理1.1　任一简单闭曲线将平面唯一地划分成三个点集且满足　（1）彼此不交　（2）是一个有界区域（称为的内部）　（3）是一个无界区域（称为的外部）　（4）若简单折线的两个端点分属，则必与有交点。极限的计算定理－定理1.2　设函数于点集上有定义，，则 　　　　　　　　　的充要条件是 　　　　　　　　　 连续函数定理－定理1.3　设函数于点集上有定义，，则沿在点连续的充要条件是：二元实变函数，沿于点连续。一致连续定理－定理1.4 设函数在有界闭集上连续，则 　（1）在上有界，即，使。 　（2）在上有最大值与最小值。 　（3）在上一致连续。即 ，使对上满足的任意两点及，均有 　　　　　　　　　 定义 复变函数的导数－定义2.1　设函数在点的某邻域内有定义，考虑比值 　　　　　　　　　若当（或）时，上面比值的极限存在，则称此极限为函数在点的导数，记为。即 　　　　　　　　　。 （2.1） 此时称在点可导。解析函数－定义2.2　如果函数在区域内可微，则称微区域内的解析函数，或称在区域内解析。奇点－定义2.3　若在点不解析，但在的任一邻域内总有的解析点，则称为的奇点。复指数函数－定义2.4　对于任何复数规定复指数函数为 　　　　　　　　　。 易知，复指数函数有下列性质： 　（1） 它是实指数函数的自然推广 　（2） 。 　（3） 在平面上处处解析，且。 　（4） 加法定理成立，即。 　（5） 是以为基本周期的周期函数。 　（6） 极限不存在。三角函数－定义2.5　称 　　　　　　　　　分别为复数的正弦函数和余弦函数。 　　复正弦函数和余弦函数有以下性质： 　（1） 它们是实函数情形的推广 　（2） 均处处解析，且 　　　　　　　　　。 事实上， 　　　　　　　　　同理，可证另一个。 　（3） 是奇函数，是偶函数；且遵从通常的三角恒等式，如 　　　　　　　　　　（4）均以为周期 　（5）的零点为 的零点为 　（6）不再是有界函数。正切、余切－定义2.6　称 　　　　　　　　　分别为的正切、余切、正割与余割函数。 这四个函数在其分母不为零的点处解析且 　　　　　　　　　双曲函数－定义2.7　规定 　　　　　　　　　并分别称为的双曲正弦、双曲余弦、双曲正切、双曲余切、双曲正割及双曲余割函数。 根式函数－定义2.8　规定根式函数为幂函数的反函数。对数函数－定义2.9　规定对数函数是指数函数的反函数。即若 　　　　　　　　　　　则复数称为复数的对数，记为。 主要定理 可微的必要条件－定理2.1（可微的必要条件） 设是定义在区