信号与系统4.3.pptVIP

用留数法求拉氏反变换： 说明： 值得注意的是，留数法只能在mn的条件下应用， m =n 时， f(t) 中将出现 d(t) 项或 d(t)的导数项，不满足约当辅助定理条件(1)，这时可以先用长除法进行处理，然后用留数法处理mn 的部分。 虽然留数法与部分分式法均可用来求取原函数， 但部分分式法只能求解有理函数的原函数，而留数法则不受此限制，而且留数法在数学上比部分分式法严密。 例2: * 信号与系统 哈尔滨工业大学（威海）信息与电气工程学院 通信工程系 §4.3 拉普拉斯反变换 直接利用定义式求反变换 ---复变函数积分，求解比较困难。 两种方法： 部分分式展开法 围线积分法（留数法） 一、部分分式展开法 非真分式（m≥n）— 真分式＋整式 F(s)有两种情况 真分式 （mn） 1.非真分式(m≥n)——真分式＋整式 整式部分可以变换为d(t)和d(t)的各阶导数的形式 真分式 || 所以，整式部分的反变换为 2.真分式（mn） 将F(s)分解为多个最简有理分式之和，然后求取 或者查表得到f(t) —典型函数之和 mn 设an=1 求拉氏反变换的过程： 的极点 变换 作长除法 mn （2）极点包含共轭复根： （1）极点(A(s) =0的根)为实单根： （3）极点中有重根： 针对真分式的情况， 根据极点类型的不同，可分为三种情况： 1. 第一种情况：极点为实单根： (1)找极点 (2)展成部分分式 (3)反变换 求系数 例： 如何求系数k1, k2, k3……？ 2. 第二种情况：极点包含共轭复根： 暂不考虑 F(s)具有共轭极点，不必用部分分式展开法 LT反变换 另一种方法： 3. 第三种情况：极点中有重根： 暂不考虑 例： 逆变换 单边拉普拉斯逆变换也可以用单边拉普拉斯逆变换的定义式求，这种方法称为留数法，也称为反演积分法。 二、围线积分法（留数法） 单边拉普拉斯反变换的定义为 这是复变函数的积分问题，其积分路径为收敛域中平行于轴的直线，积分限为到，直接计算这个积分是比较困难的。为此我们可以从到补足一条积分路径，构成一闭合曲线积分，如图所示。 围线积分路径 补足的这条路径CR，是半径为的圆弧，沿该圆弧的积分应为零。这一条件由约当引理（约当辅助定理）保证，即满足。这样上面的积分就可以由留数定理求出，它等于围线中被积函数所有极点的留数和（这里是真分式），即 Re[st]s1t m n 当t0时，取右图的弧线，t0时，取左图的弧线，即能满足条件 2、 若 为k 阶极点： 根据极点阶数的不同，计算方法不同： 1、 若 为一阶极点： 求 的拉普拉斯反变换。 由于 有4个极点， 例 单极点： 二阶极点： 求 的拉普拉斯反变换。 由于 不是真分式，先将其分解为有理多项式与真分式之和 令 例题 显然， 有一个单值极点 和一个二重极点 它们的留数分别为 例1: 课后练习 * 信号与系统 哈尔滨工业大学（威海）信息与电气工程学院 通信工程系