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各向异性弹性波动力学的场论研究 郭少华 (中南大学资源环境与建筑工程学院，长沙，410083) 【摘要】利用经典场论和本征弹性理论，本文给出了以模态应变描述的各向异 性弹性波动力学方程的Lagrange形式。对标量本征弹性动力学场，它可直接推出 各阶异性子空间下的弹性波传播方程的算子化形式。文章重点讨论了几类各向异 性弹性波动过程的Lagrange函数性质，并根据Noether定理，给出了相应弹性动 力场的动量及能量密度方程。 【关键词】各向异性；弹性波；场论；Iagrange函数 1引 育 经典场论是建立在哈密顿原理基础上，用以描述连续波场运动规律的理论，在近代物 理学中起到了至关重要的作用。但是经典弹性波传播理论则难以在场论的基础上得以发 展，以至对各向异性弹性波传播动力学的描述还没能形成一个有效和清晰的理论。对其传 播性质的认识只能停留在平面波的基础上。这其中的原因是：1)弹性波的性质，取决于 传媒的力学性质。对一般各向异性固体，弹性波的数目，弹性波的类型及弹性波的速度分 别与该固体各向异性子空间数，子空间的模态性质及子空间的本征弹性密切相关“J。例 如，对各向同性固体，就有纵波与横波二个波型。2)由于弹性波受媒介制约，弹性动力 学中，除了要有运动方程之外。还须有变形协调方程和本构方程。后者是弹性力学超静定 性质所决定的。对它们的认识如果没有本质上的突破，建立弹性动力学的场论体系将是非 常困难的。当然，正如经典弹性动力学一样，也有一些学者为避开这些认识上的困难，采 用了例如位移等构形标量来讨论弹性波场的场论问题”1。但由于这些标量并非经典力学量 (应力或应变)，而且只有几何意义，没有物理意义。因此波动方程将是十分复杂的，并且 不能显示出各向异性介质中弹性渡传播的立体图像，只能从其某一剖面大致看出波在不同 方向上的传播特点。更为重要是，用位移表示的弹性波动方程不能准确地告知各向异性介 质中有多少弹性波在传播，传播的速度是多大，类型是什么(即是P波还是s波)。地球 物理实验已经证实：横观各向同性地层会产生横渡分裂现象口]，但目前的理论对比还难以 准确的描述。 作者最近提出的本征固体力学理论口。_7】，以标量算子化的形式重新给出了弹性力学 方程，并对变形协调方程和本构方程做了全新的物理解释：在力学表象下，弹性体变形协 调方程原本是运动方程的基态方程。这些工作为弹性动力学场论的建立奠定了基础。 299 2．本征弹性力学…4。3 i：1，2，…6 1)运动方程： A?d?=pV。￡? 2)(基态)方程 i=1，2，…6 “Q A?d?=0 v?E?=0 i=】，2，…6 3)物理方程 口?=A．s? i=1，2，…6 v?=A．△? i=1，2，’一6 0@幅 此外还有边界条件和初始条件，这里不再罗列。以上各式中，符号定义如下 dj=9。：d i=1，2，’’’6 ￡?=9孓 i=1，2，…6 A?=中T△驴。 i=1，2，…6 v：=一v竹i=l，2，6 ∞0@@ 它们分别称为模态应力，模态应变，应力算子和应变算子。并且 C=西^中’ (10) [A。，^：，…^。]为本征弹性。 3．本征弹性动力学场论 描述弹性动力学场，需要四维时空坐标*。(严=1，2，3，4)，即(*。，x：，扎， ／x。)。这里z。为时间坐标，(*，，*：，奶)为空间坐标。在该时空系下，考查弹性波动力 学，可以用六个标量