函数的概念与函数求值.docVIP

 函数的概念与函数求值 主讲教师：丁益祥 【知识概述】 1.函数概念：设是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系，使对于集合中的任意一个，在集合中都有唯一的值与它对应，那么称为从集合到集合的一个函数.记作：. 函数的定义域:自变量的取值范围（数集） 函数的值域:所有函数值构成的集合, 注：同一函数、分段函数概念 2.函数的三要素：定义域、值域和对应法则. 3.函数的表示方法：（1）解析法；（2）列表法；（3）图象法. 【学前诊断】 1．[难度] 易 函数的定义域是___________________ . 2．[难度] 易 设，则 ( ) A.－ B.0 C. D.1 3．[难度] 中 下列四个选项中，可以作为函数的图象的是（ ） 【经典例题】 例1．已知函数的定义域，则函数的定义域是_______. 解：因为函数的定义域是， 所以，所以 ． 故函数的定义域是． 例2．设表示数x的整数部分（即小于等于x的最大整数），例如，那么函数的值域为________________. 解：因为，所以x=2k(k∈N)或x=2k+1(k∈N). 当（）时， ，， 即，． 当（）时， ，， 即，． 所以函数的值域为． 例3．已知,求=____________. 解法1：∵3x-5=3(x-2)+6-5=3(x-2)+1，即f(x-2)=3(x-2)+1 ∴ ． 解法2：设，则， ∴ ，所以 ． 例4．在边长为4的正方形ABCD的边上有动点P从点B开始，沿折线BCDA向A点移动，并且使得P，A，B三点两两相连真正构成三角形.设点P移动的路程为x，的面积为y，求函数的解析式，并求的值. 由移动到时，的长为． 此时； 当由移动到时，此时； 当由移动到时，此时 故 于是，． 例 5．已知函数， 那么________. ， 所以，，，，即， 故原式． 例 6．函数的最小值为（ ） A．190 B.171 C.90 D.45 解：表示数轴上一点到1，2，3，…，19的距离之和． 不妨把放在0的位置，则到1，2，3，…，19的距离依次为1，2，3，…，19， 此时所求的距离和为； 把放在1的位置，则到1，2，3，…，19的距离依次为0，1，2，3，…，18， 此时所求的距离和为； 把放在2的位置，则到1，2，3，…，19的距离依次为1，0，1，2，3，…，17， 此时所求的距离和为； …… 注意到把依次放在20、19、18、…的位置时，所求的距离和依次等于，… 由此可知，当在1~19最中间时取最小值， 故时，有最小值90，故选C． 例 7．已知函数，求． ． 当时，， 所以， 此时． 因此， ． 【本课总结】 1. 求函数定义域就是求使函数有意义的x的集合，常见的函数有如下几种： 如果为整式，其定义域为实数集R； 如果为分式，其定义域是使分母不为0的实数集合； 如果是偶次根式，其定义域是使根号内的式子不小于0的实数集合； （4） 如果是由以上几个部分的数学式子构成的，其定义域是使各部分式子都有意义的实数集合； （5） 如果是实际问题，除应考虑解析式本身有意义之外，还应使实际问题有意义. 2. 一般地，若函数的定义域是，求的定义域，可以把问题转化为“已知的值域为，反解”而得到． 3. 函数解析式的求法： （1）换元法；（2）配凑法；（3）待定系数法. 【活学活用】 1．[难度] 易 函数的值域是（ ） A.0，2，3 B.　　 C.　 　D. 2．[难度] 中 已知函数，分别由下表给出 1 2 3 1 3 1 1 2 3 3 2 1 则的值为 ；满足的的值是 _____ ． 3. [难度] 中 已知函数的定义域是，则函数的定义域是__________________． 5 数学·必修1