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第六章 常微分方程 教研室：高等数学 研室 课程名称 高等数学I （上） 授课专业及班次 授课内容 第六章 常微分方程 授课方式及学时 讲授，14 学时 通过本章的学习，使学生：了解微分方程、解、通解、初始条件和特解的概念， 二阶线性微分方程解的结构；熟练掌握可分离变量方程及一阶线性方程的解法、二阶 常系数齐次线性微分方程的解法；会解齐次方程、伯努利方程，从中领会用变量代换 目的 解方程的思想；会解较简单的全微分方程；掌握自由项为多项式、 数函数、正弦函 与 数、余弦函数及它们的和与乘积的二阶常系数非齐次线性微分方程的解法；知道可降 要求 阶的高阶方程的解法和高阶常系数齐次线性微分方程的解法；会识别可分离变量的方 程，齐次方程、一阶线性方程、伯努利方程。会用微分方程解一些简单的几何和物理 问题。 重点：一阶微分方程的解法 （可分离变量方程、齐次方程、一阶线性方程）、二 重点 阶常系数线性微分方程的解法。 与 难点：一阶微分方程的解法，高阶线性微分方程解的结构，可降阶的高阶微分方 难点 程、二阶常系数非齐次线性微分方程。 第一节 常微分方程的基本概念 (1 学时) 第二节 一阶微分方程方程及其解法 (3学时) 第三节 微分方程的降阶法 (2 学时) 讲授内容 第四节 线性微分方程解的结构 (2 学时) 及 第五节 二阶常系数线性微分方程 (4学时) 时间分配 ** 第七节 欧拉方程 本章总结 (2 学时) 具 1、 《高等数学》,同济大学数学系编,高等 育出版社,2007 主要 2、 《高等数学》,北京邮电大学数学 研室编,北京邮电大学出版社,2000. 参考资料 3、 《高等数学》,湖南省21 世纪数学 材编写组编, 复旦大学出版社, 2007. 4、 《高等数学教与学参考》，阎国辉编，西北工业大学出版社，2003. 1 第六章 常微分方程 常微分方程是一个历史悠久的数学分支,也是与实际问题联系最为紧密的数学分支之一.在本章中,我们 首先介绍有关常微分方程的一些基本概念,然后讨论几种常微分方程的解法. 第一节 常微分方程的基本概念 我们通常把含有一元未知函数及其导数(或微分) 的方程称为常微分方程.在不致引起混淆的情况下简 称为微分方程或方程.例如, 以下这些都是常微分方程: dy y dy 2 =0; ② x y =sinx ; dx x dx 2 2 2 d s ds ③ (x y ) dx+dy =0; ④ -2 +s= 1. dt2 dt 下面我们举几个例子,说明常微分方程是如何从物理学和几何学方面