韦达定理在解析几何中的应用1.docVIP

韦达定理在解析几何中的应用 基本应用 直线与圆锥曲线相交相关的弦长、弦的中点、垂直等问题 例1、椭圆与直线相交于A、B，点C是AB的中点， 若，OC的斜率为，求椭圆的方程。 （. 答案：） 例2、已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，离心率；直线：与椭圆交于两点，且，求椭圆的方程。（答案：） 例3．已知直角的直角顶点为原点，、在抛物线上。 （1）分别求、两点的横坐标之积，纵坐标之积； （2）求证：直线经过一个定点，求出该定点的坐标； （3）过定点任作抛物线的一弦，求证：为定值。 [例3变式训练] 求点在线段上的射影的轨迹方程 答案：（1）； ；（2）直线过定点；（3）。 设直线，由消去有：，所以 ，，， 综合应用 直线与椭圆相交问题：同一条直线上的线段之比问题、三角形及四边形面积问题、三点共线、定值定直线等问题 4．如图，已知点，直线，为平 面上的动点，过作直线的垂线，垂足为点，且 。 （Ⅰ）求动点的轨迹的方程； （Ⅱ）过点的直线交轨迹于两点， 交直线于点，已知，， 求的值。 例4．解法一：（Ⅰ）设点，则，由得： ，化简得。　 （Ⅱ）设直线的方程为：， 设，，又， 联立方程组，消去得： ，，故 由，得： ，， 整理得：，， 。 例5．如图，已知椭圆的左右焦点分别为,A、B、C 是椭圆上的三个动点，且，若已知椭圆的离心率。 （1）求的值； （2）求△ABC与△的面积之比的最小值。 解：（Ⅰ）由=，得，，则椭圆方程为即 ， 直线、中至少有一条存在斜率，不妨设直线的斜率存在， 直线的方程为 代入椭圆方程有 由韦达定理得：，∴ 所以 ①若斜率存在，同理可得，则 ②若斜率不存在，轴，，，此时直线的斜率存在， ，则，综上所述 （Ⅱ） ≥==，当且仅当 时取等号。 所以与面积之比的最小值为。 例6．如图，设抛物线的准线与轴交于，焦点为；以为焦点，离心率的椭圆与抛物线在轴上方的一个交点为（）当时，求椭圆的方程及其右准线的方程； 经过椭圆 的右焦点，与抛物线交于，如 果以线段为直径作圆，试判断点P与圆 的位置关系，并说明理由； （）是否存在实数，使得的边长是连续的自然数，若存在，求出这样的实数；若不存在，请说明理由解：（）设椭圆长半轴为，半焦距为，当时，，，，故椭圆方程为右准线方程为的方程为：，R 联立得点P的坐标为.将代入得. 设，由韦达定理得。 又, ， 因为，于是的值可能小于零,等于零,大于零,即点可在圆内, 圆上或圆外（）假设存在满足条件的实数，由题设有. 又设有设，对于抛物线，； 对于椭圆，，即.由 解得, , 从而 .因此，三角形的边长分别是所以时，能使三角形的边长是连续的自然数，0）的双曲线的右支，已知它的一条渐近线方程是。 （1）求曲线C的方程； （2）已知点E（2，0），若直线与曲线C交于异于点E的P、R两点，且。求证：直线过一个定点，并求出定点的坐标。 【解析】（1）设C：， 则。..........................................5分 （2）即对不存在时均恒成立。 由于是存在性问题，可先由特殊情形探路。 ⅰ）当直线垂直于x轴时，x1=x2，y1=-y2， 。 又（此时可猜想直线过定点） ⅱ）当直线不垂直于x轴时，设。 化简得：对恒成立。 若，则直线：，此直线过定点（2，0），与已知矛盾，故舍去。 当时，则直线：，此直线过定点。 当直线垂直于x轴时，此直线也过定点。 综上：直线也过定点。......................................................................14分 例8．已知过椭圆C : 右焦点F且斜率为1的直线交椭圆 C 于A, B两点，N为弦 AB 的中点；又函数图象的一条对称轴的方程是. （Ⅰ）求椭圆 C 的离心率 e 与直线ON的斜率； （Ⅱ）对于任意一点 M ∈C，试证：总存在角使等式： 成立. 【解析】（Ⅰ）因为函数图象的一条对称轴的方程是. 所以对任意的实数x都有 取得, ,整理得. 于是椭圆C的离心率 由知椭圆C的方程可化为 又椭圆C的右焦点F为,直线AB的方程为 (2)代入(1)展开整理得…………4分 设,弦 AB 的中点,则是方程(3) 的两个不等的实数根，由韦达定理得 所以 于是直线ON的斜率………………6分 （Ⅱ）与是平面内的两个不共线的向量，由平面向量基本定理，对于这一平面内的向量,有且只有一对实数λ,μ,使得等式成立. 设 M ( x , y) ,由 1) 中各点的坐标可得 又M ∈C，代入（1）式得，展开整理为： 由（2）和（4）得 又A，B两点在椭圆上，故有代入（5）式化简得 ……………………