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蝴蝶定理的推广与应用 蝴蝶定理： 蝴蝶定理最先是作为一个征求初等几何学证明的问题，刊载于1815年的一份欧洲通俗杂志《男士日记》上。由于该定理的几何图形形象奇特，貌似蝴蝶，便以蝴蝶来命名。 定理内容：圆O中的弦PQ的中点M，过点M任作两弦AB，CD，弦AD与BC分别交PQ于X，Y，则M为XY之中点。蝴蝶定理(Butterfly theorem)出现过许多优美奇特的解法，其中最早的，应首推欧洲人霍纳在1815年所给出的证法。至于初等几何学的证法，在国外资料中，一般都认为是由一位欧洲中学教师斯特温首先提出的，它给予出的是面积证法，其中应用了面积公式：S=1/2BC·sinA。 1985年，在河南省《数学教师》创刊号上，杜锡录同志以《平面几何中的名题及其妙解》为题，载文向国内介绍蝴蝶定理，从此蝴蝶定理在神州大地到处传开。 蝴蝶定理想象洵美，蕴理丰富，近两百年来，关于蝴蝶定理的研究成果不断，引起了很多中外数学家的兴趣。到目前为止，关于蝴蝶定理的证法就有60多种。而基于蝴蝶定理的推广与应用，能得到许多有趣漂亮的结果 蝴蝶定理的证明 （一）运用简单的初中高中几何知识的巧妙证明 蝴蝶定理经常在初中和高中的试卷中出现，于是涌现了很多利用中学简单几何方法完成蝴蝶定理的方法。 带有辅助线的常见蝴蝶定理证明 在蝴蝶定理的证明中有各种奇妙的辅助线，同时诞生了各种美妙的思想，蝴蝶定理在这些辅助线的帮助下，翩翩起舞！ 证法1 如图2，作，则垂足分别为的中点，且由于 得共圆；共圆。 则 又，为的中点，从而， 则 ，于是。[1] 证法2 过作关于直线的对称点，如图3所示，则 联结交圆于，则与关于对称，即 。又 故四点共圆，即 而 由、知，，故。 证法3 如图4，设直线与交于点。对及截线，及截线分别应用梅涅劳斯定理，有 ， 由上述两式相乘，并注意到 得 化简上式后得。[2] 2 不使用辅助线的证明方法 单纯的利用三角函数也可以完成蝴蝶定理的证明。 证法 4 （Steven给出）如图5，并令 由，即 化简得 即 ，从而 。 证法 5 令，以点为视点，对和分别应用张角定理，有 上述两式相减，得 设分别为的中点，由，有 于是 ，而，知，故。 （二） 运用解析几何的知识完成蝴蝶定理的证明 在数学中用函数的方法解决几何问题也是非常重要的方法，所以解析几何上夜出现了许多漂亮的证明蝴蝶定理的方法，以下列出几个例子以供参考。 证法 6 （单墫教授给出）如图6，建立直角坐标系，则圆的方程可设为 。直线的方程为，直线的方程为。 由于圆和两相交直线组成了二次曲线系，其方程为 令，知点和点的横坐标满足二次方程， 由于的系数为，则两根和之和为，即，故。[5] 证法 7 如图7建立平面直角坐标系，则圆的方程可写为 直线、的方程可写为,。 又设的坐标为，则分别是二次方程 的一根。在轴上的截距为 。 同理，在轴上的截距为。注意到是方程的两根，是方程的两根，所以，从而易得 ，即。 证法 8 如图8，以为极点，为极轴建立极坐标系。因三点共线，令，则 即 作于，作于。注意到 由与可得 将代入可得，即。 二 蝴蝶定理的推广和猜想 （一） 猜想 1　在蝴蝶定理中, P、 Q分别是 ED、 CF和AB的交点. 如果 P、 Q分别是 CE、 DF和AB延长线的交点,我们猜想, 仍 可能会有 PM = QM . 推论 1　过圆的弦 AB的中点M引任意两条弦 CD与 EF, 连结 CE、 DF并延长交 AB的延长线于 P、 Q. 求证: PM = QM. 证明;设AM =BM = a, PM = x,QM = y ;∠PM E = ∠QM F =α,∠PCM = ∠DFM =β ; ∠CM E = ∠DM F =γ,∠QDM = ∠CEM =δ ; 记 △PM E, △QM F,△PMC, △QMD的面积分别为 S1 , S2 , S3 , S4. 则由恒等式S2·S3·S4·S1= 1知M P·M Esin αMQ·M Fsinα · FQ·FM sin