中学数学重要思想方法总结.docVIP

成绩： 江西科技师范大学 学 年 论 文 题 目： 中学数学重要思想方法总结 学 院： 数学与计算机科学学院 专 业： 数学与应用数学 班 级： 数学与应用数学（1） 学 号： 姓 名： 段龙明 指导教师： 陈英玮 2013 年 12 月 25 日 中学数学重要思想方法总结 摘 要 要学好中学数学，掌握一定的数学思想方法是必不可少的，近年来，不管是中考还是高考，不管是代数还是几何，都越来越注重对学生的数学思想的考查。本文主要针对中学数学中数形结合的思想、分类讨论的思想、转化与化归的思想、函数与方程的思想等重要思想方法进行总结，并将这些思想方法应用到解题当中，从而使学生有意识的应用数学思想方法去分析问题，解决问题，形成能力，提高数学素质。 关键词 数学思想；解题；应用 1 数形结合的思想方法 1 知识要点概述 数与形是数学中两个最古老、最基本的元素，是数学大厦深处的两块基石，所有的数学问题都是围绕数和形的提炼、演变、发展而展开的：每一个几何图形中都蕴藏着一定的数量关系，而数量关系又常常可以通过图形的直观性作出形象的描述。因此，在解决数学问题时，常常根据数学问题的条件和结论之间的内在联系，将数的问题利用形来观察，提示其几何意义；而形的问题也常借助数去思考，分析其代数含义，如此将数量关系和空间形式巧妙地结合起来，并充分利用这种“结合”，寻找解题思路，使问题得到解决的方法，简言之，就是把数学问题中的数量关系和空间形式相结合起来加以考察的处理数学问题的方法，称之为数形结合的思想方法. 2 需要注意的问题 第一要彻底明白一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征，对数学题目中的条件和结论既分析其几何意义又分析其代数意义；第二是恰当设参、合理用参，建立关系，由数思形，以形想数，做好数形转化；第三是正确确定参数的取值范围. 3 解题方法指导 1）转换数与形的三条途径： ① 通过坐标系的建立，引入数量化静为动，以动求解。 ② 转化，通过分析数与式的结构特点，把问题转化到另一个角度来考虑，如将转化为勾股定理或平面上两点间的距离等。 ③ 构造，比如构造一个几何图形，构造一个函数，构造一个图表等。 2）运用数形结合思想解题的三种类型及思维方法： ①“由形化数” ：就是借助所给的图形，仔细观察研究，提示出图形中蕴含的数量关系，反映几何图形内在的属性。 ②“由数化形” ：就是根据题设条件正确绘制相应的图形，使图形能充分反映出它们相应的数量关系，提示出数与式的本质特征。 ③“数形转换” ：就是根据“数”与“形”既对立，又统一的特征，观察图形的形状，分析数与式的结构，引起联想，适时将它们相互转换，化抽象为直观并提示隐含的数量关系。 4 经典例题讲解 已知函数f（x）=ax2+bx且2≤f（1）≤4，1≤f（-1）≤2，求f（-2）的取值范围.这是我们常出错的题，其代数解法有待定系数法、特征函数法、三角代换法等，而众所周知的数形结合法是线性规划法.? 这类问题可看作一个条件极值问题，即变量a、b在? 2≤a+b≤4??? （1）? 1≤a-b≤2??? （2）? 这两个约束条件下，求目标函数y=4a-2b的最大（小）值问题 .约束条件2≤a+b≤4，1≤a-b≤2的解集是非空集，在坐标平面上表 示的区域是由直线：a+b=4，a+b=2，a-b=2，a-b=1所围成的封闭 图形（图中的阴影部分）.? y的大小又可以看作直线b=2a-y在b轴上截距的大小， 从图中易知当直线b=2a-y经过A（，），C（3，1） 时截距分别为最小f（-2）=5和最大f（-2）=10.? 所以5≤f（-2）≤10. （图1） 5 总结提炼 在应用数形结合的思想解题的时候，一是要由数想到形，要注意“形”的准确性，这是数形结合的基础；二是数形结合，贵在结合，要充分发挥两者的优势。“形”有直观、形象的特点，代替不了具体的运算和证明，在解题中往往提供一种数学解题的平台或模式，而“数”才是真正的主角，若忽视这一点，很容易造成数形结合的谬用. 2 分类讨论的思想方法 1知识要点概述 在数学中，当被研究的问题存在多种情况，不能盖一而论时，就需要按照可能出现的各种情况分类讨论，从而得出各种情况下的结论，这种处理问题的思想方法叫分类讨论思想，它不仅是一种重要的数学思想，同时也是一种重要的解题策略，实质上分类讨论是“化整为零，各个击破，再积零为整的数学策略。在研究问题时，要认真审题，思考全面，根据其数量差异和位置差异进行分类，注意分类不要有重复，也不要有遗漏，从而得到完美结果. 2 需要注意的问题 第一要明确什么情