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讲 授 内 容 备 注 第二十五讲 三、级数敛散性的应用 1．收敛性的应用 　　例24 设．求． 解　将看成级数的通项 因为　　　　 所以级数收敛．由收敛的必要条件知：． 类似可证：，． 例25 设．试证：存在． 证 （记）是级数 的部分和．而 所以级数收敛．其部分和序列收敛，存在． 例26 设正项级数收敛．试证：． 证　记，．则　． 利用Abei变换： 从而 ． 或 ． 例27 试证：若收敛，，． 则，且． 　　证　　因为收敛， 所以，必有　 即且　． 所以，即，故． 　　　要证　 即要证　　． 　　　　 因为为收敛级数的余和 所以　　，即． 于是，得． 　2．发散性的应用 例28 设发散，且是正的不增数列．试证： ． 　　证　　因为 所以　 从而　　 因为　发散，所以． 而　　　　 　　　　 　　　　　　　 所以　　　　　． 由两边夹法则知　　． 广义积分作为级数的极限的例子． 例29 设单调函数在时有定义，并且广义积分存在．试证明： 　　　． 　　证　若，，有 　　　　 　　　　　　　　　 令，两边取极限，得 　　　　． 若，考虑，同上证明． §5.2 函数项级数 所谓函数项级数在某区间上收敛，是指它逐点收敛．意即：对于中每固定一点，作为数项级数总是收敛的．因此对收敛性，可用上节数项级数各种判别法进行判断．本节的任务，主要讨论一致收敛性的判断． 一、一致收敛性的判断 方法如下： a) 利用定义 b) 利用准则 c) 常用的几个充分条件：判别法；判别法； 判别法 　1．利用定义 　　方法： 　i）要用定义证明在区间上一致收敛，应首先设法求出和函数，写出部分和，然后对，找出与无关的，使得时，有　　　　　　 　ii）　时关于，等价于： 　　　，，及　，使得 亦等价于：，，使得 　“放大法”：若，，使得 且时，．则时，于上． 　　确界法：时，等价于 　，即 以上结论，对函数列均有相应的结论． 例1 设是内的连续函数， 证明：函数列在任何有限区间上一致收敛． 　　证　是积分的一个积分和．且连续，该积分有意义 时， 　　设是任意一个有限区间．要证明时， 于上，即对，当时，对 　　　　 　　　　　 　　　　　 　　　　　 因为，所以点与点的距离 又在上一致连续， ，当时，有 故取，当时，有，必有 从而当时，　 即在上一致收敛于． 由的任意性，命题得证． 例2 设函数在上有连续的导函数， 证明：在任一有限开区间内一致收敛于． 证　由微分中值定理 　　　 　　 因为在上一致连续， ，当时，有　　　　　　　 取，当时，（此时），必有 故时，于上． 例3　试证：时，（关于）的充要条件是：，有 　　　　（关于）． 　　证　必要性　设时，（关于） 　　，当时，有　 　　　 又，，所以对上述，， 当时，有 从而　　　　　 此即　（关于）． 　　充分性　假设时，（关于） 则，使得　及 满足　　　　 如此得到　，但（关于） 与已知条件矛盾．命题得证． 例4 若在上可积，，且与在上都可积， 设 则在上一致收敛于． 证　 　　 　　　　　　　 　　　　　 　　　　　 　　　　　 　　　　　 所以时，于上． 例5 给定函数序列： 试问当取何值时，在上一致收敛． 解　，　稳定点： 当时，；当时，． 所以，函数在稳定点处取最大值． 极限函数　 　 　　 　　 所以，当且仅当时，在上一致收敛． 例6 试证：在上一致收敛． 证 ， 可视为交错级数，且收敛．记和函数为． 其余和　　 　　 所以，级数在上一致收敛． 例7 讨论级数 在与内的一致收敛性． 解 用判别法知，该级数在内收敛． 　 　 　 　 当时， 　　　　 所以原级数在内非一致收敛，在内一致收敛． 例8 设在上可积， 证明：函数序列在上一致收敛于0． 证 在上可积，在上有界． ，使得　 从而　 　 一般地，若对有： 则　 　 故　于上，当时． 3学时 与数项级数收敛定义的区别 与数项级数收敛定义的联系与区别 补充函数列 在上一致收敛于极限函数的定义 方法 极限函数 方法 ， ， 定理的推广 方法 放大法 不等式 此式与无关，仅与有关 确界法 确界法 确界法 11