第二部分 集合论.pptVIP

解：(1)，(3)，(4)为真；(2)为假。即?中不含有任何元素，而{?}中有一个元素? ，所以? ≠ {?}。 * 解：(1)：P(○)={○}； (2)：P({○})={○ ，{○}}； (3)：P({○，{○}})={○，{○}，{{○}}，{○，{○}}}； (4)： P({1，{2,3}})={○，{1}，{{2,3}}，{1，{2,3}}}。 */28 */73 第二部分 集合论 集合论是研究集合一般性质的数学分支，创始人是康托尔(G.Cantor 1845-1918)。现代数学中，每个对象(数，函数等)本质上都是集合，即可以用某种集合来示义，数学的各个分支本质上都是在研究某一种对象集合的性质，集合论的特点是研究对象的广泛性，是计算机科学的基础理论表达工具。 第三章 集合代数 3.1集合的基本概念 1.集合的定义 集合是现代数学中最重要的基本概念之一。我们知道，在任何一个数学理论中，不可能对其中的每个概念都严格定义，这样的概念一般为数学理论中的原始概念，而称其余的概念为它的派生概念。如欧几里得几何学中，“点”和“线”是原始概念，而“三角形”和“圆”则为派生概念。今天我们介绍的“集合”也是一个不能严格定义的原始概念。但是为了理解上的方便，我们仍然给一个不严格的定义。 3.1 集合的基本概念 定义3.1：任何被称为“成员”或“元素”的对象的聚集称为集合(Set)。 例如：自然数的全体N，有理数的全体Q，实数的全体R，复数的全体C，整数的全体Z，都是集合。 通常情况下，用带(或不带)下标的大写英文字母表示集合，而用带(或不带)下标的小写英文字母表示集合的元素或成员。 3.1 集合的基本概念 2.集合的表示 集合是由它所包含的元素完全确定的，有多种方法来表示一个集合。 (1).枚举法：当一个集合仅有有限个元素或元素之间有明显的关系时，采用列出集合中全部元素或部分元素的方法，叫枚举法。 例：A={1,2,3,4}，B={a, b, c, …x, y, z}，N ={0,1,2,3, …}。 这种方法实际上是一种显示表示法，优点是具有透明性，缺点是当集合中元素比较多时会占据大量内存。 3.1 集合的基本概念 (2).描述法：一般用谓词来概括集合中元素的特性，由谓词P(x)所定义的集合常记为：A={x |P(x)}。 例：B={x | x ∈R ∧x2-1=0}。 谓词表示法是一种隐式表示法，所表示的集合元素可以是很少的或无穷多个，从计算机的角度来看，是种“动态”的表示法，不用占据大量内存。 (3).文氏图法(Venn)：文氏图解法是一种利用平面上的点的集合作成的对集合的图解，一般用平面上的圆形或方形表示一个集合。 3.1 集合的基本概念 3.集合与元素的关系 元素和集合之间的关系是“隶属关系”，即“属于”或“不属于”，“属于”记作∈，不属于记作?。 例：A={a，{b，c}，{{d}}}，a ∈A， {b，c} ∈A，b ? A。 例3-1：在一个很偏僻的孤岛上，住着一些人家，岛上只有一个理发师，该理发师专给那些并且只给那些自己不刮脸的人刮脸。那么该给这位理发师刮脸？ 3.1 集合的基本概念 在离散数学中，我们仅讨论界限清楚无二义性的元素与集合的隶属关系，即元素a要么属于集合A，要么不属于集合A，两者必居其一。 4.集合的特性 (1).确定性：即a∈A或a ? A，两者必居其一且仅居其一； (2).互异性：集合中相同的元素被视为同一元素，即：{1，1，2，2}与{1，2}相同； (3).无序性：集合中的元素顺序并不重要，如{1，2，3，4}与{2，3，4，1}相同。 3.1 集合的基本概念 5.集合之间的关系 定义3.2：设A，B是两个集合，如果B中的每个元素都是A中的元素，则称B是A的子集合，简称子集(Subset)，这时也称B被A包含，或A包含B，记作B?A，或A?B，称“?”或“?”为包含关系(Inclusion Relation)。如果B不被A包含，则记作B?A。 例：N ? Z ? Q ? R ? C, 但Z?N ; A={1，2，3，4}，B={1，2}，C={2，3}，D={2，3}，则B,C,D?A; C?D; D?C; B?C,D; C,D?B; A?B,C,D 对任意的集合A，都有A?A 。 3.1 集合的基本概念 定义3.3：设A，B为集合，如果A?B且B?A，则称A与B相等，记作A=B，如果A与B不相等，则记作A≠B。 相等的符号化表示为：A=B? A?B?B?A 例：A={x|x∈N，且x≤4}，B={0，1，2，3，4}则A=B。 定义3.4：设A，B为集合，如果B?A且B≠A，则称B是A的真子集(Proper Subset)，记作B?A