哈尔滨工程大学08矩阵论答案.docVIP

哈尔滨工程大学研究生试卷 （ 2008 年 秋 季学期） 课程编号： 30003 课程名称： 矩阵论 一．填空（每空3分，共45分） 1.若，则 3 ， 1 。 2．在中，矩阵在线性无关矩阵组下的坐标为 。 3. 设中的内积定义为，若取则子空间的正交补空间的一组基为 4．在欧氏空间中，满足条件的正交基下的矩阵为。 5．已知，则6，10， 。 6．已知，，则 。 7．设，则 。 8．设有二次型，则其对应的Hermite矩阵，且若该二次型正定，则的取值范围为。 9．设对给定的常值矩阵，则 。 10．已知，且，则的特征值为 0，1，－1 。 11．设，则 。 二．（10分）已知矩阵，求A的谱分解表达式。 解答： 则A的特征值为 当=1时，由,得 其特征向量为 当=3时，由,得 其特征向量为 当=4时，由（,得 其特征向量为 于是 则 三．（8分）设是上的算子范数， (1) 证明 ; (2) 设A为n阶可逆矩阵，是A的特征值，证明。 解答： （1）。 （2），为其特征值，存在，有， 则，所以， 又由于是的特征值，同样有，此即，故。 从而，。 四．（8分）设，为常值矩阵，求。 解答： 由于 所以 于是。 五．(10分)已知多项式空间的一个基为，，，线性变换满足， 1．求在已知基下的矩阵。 2．设，求。 解答： 1．=。 由此可得，， 故T在已知基下的矩阵为。 2． 。 六．（12分）已知，求的若当标准型J，且求相似变换矩阵P使得，并计算。 解答： （1），则矩阵A的特征值为，则其若当矩阵为， 设可逆矩阵，使得，即AP=PJ，得 此即求解方程组 则，，， 因此 ，。 （2）由（1）可知 = 当时，,, 故 八．设是两个同阶非零的复方阵，是两个非零的复数，且，，。 证明存在可逆阵使得，其中，，，分别表示阶单位阵和阶零矩阵。 证明当且仅当下列之一成立： （i），； （ii），； （iii），。 证明设由 ，即。 由存在可逆阵使得则令即得证。 由 即可得证。 装 订 线 姓名： 学号： 第5页 共4页 第6页 共4页 装 订 线 第4页 共 6页 第8页 共 4页 第7页 共4页 第3页 共6页 装 订 线