不等式(5投影)11.07.26.pdfVIP

不 等 式 选 讲 (0) 从一个试题谈起 1 1 1 （19）（Ⅰ）设x 1, y 1, 证明x y    xy ； xy x y （Ⅱ）设1 a ≤b ≤c，证明log b log c log a log a log b log c . a b c b c a  （19）本题考查不等式的性质，对数函数的性质和对数换底公式等基本知识， 考查代数式的恒等变形和推理论证能力。 1 1 1 Ⅰ x 1, y 1, x y    xy 证明：（ ）由于 所以 等价于 xy x y 2 xy (x y ) 1 y x (xy ) . 去分母 将上式中的右式减左式，得 2 (y x (xy ) ) (xy (x y ) 1) 变形分解出因式xy 1 ((xy )2 1) (xy (x y ) (x y )) 分组 (xy 1)(xy 1) (x y )(xy 1) 提取公因式 (xy 1)(xy x y 1) (xy 1)(x 1)(y 1) 既然x ≥ 1,y ≥ 1，所以(xy 1)(x 1)(y 1) 0 ，从而所要证明的不等式成立。  等价变形: 化为正数之积, 因式分解. 证2 为用条件x 1, y 1, 即x 10, y 10, 作变形 1 1 1 原式xy x y 1   1 ， (添1) xy x y 1 1 (x 1)(y 1)  (1 y x xy ) (x 1)(y 1) xy xy 1 xy 1 (x 1)(y 1)(1  ) (x 1)(y 1) 0 . xy xy 1 证3 去分母, 变形为关于x (或y ) 的2 次函数: 2 (y x (xy ) ) (xy (x y ) 1)