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非数学专业硕士《数值分析》考试 复习资料 第一章 误差 相对误差和绝对误差得概念 例题: 当用数值计算方法求解一个实际的物理运动过程时, 一般要经历哪几个阶段? 在哪些阶段将有哪些误差产生? 答: 实际问题-数学模型-数值方法-计算结果 在这个过程中存在一下几种误差: 建立数学模型过程中产生:模型误差 参数误差 选用数值方法产生:截断误差 计算过程产生:舍入误差 传播误差 6．设关于精确数有3位有效数字，估计的相对误差. 对于，估计对于的误差和相对误差. 解 的相对误差：由于 . , . （） 对于的误差和相对误差. == . □ 2有效数字 基本原则:1 两个很接近的数字不做减法: 2: 不用很小得数做分母(不用很大的数做分子) 例题: 4．改变下列表达式使计算结果比较精确： （1） （2） （3） . 解 (1) . (2) . (3) . □ 第二章 拉格朗日插值公式（即公式（1）） 插值基函数（因子）可简洁表示为 其中: . 例1 n=1时，线性插值公式 ， 例2 n=2时，抛物插值公式 牛顿（Newton）插值公式 由差商的引入，知 过点的一次插值多项式为 其中 过点的二次插值多项式为 其中 重点是分段插值: 例题: 1. 利用Lagrange插值公式求下列各离散函数的插值多项式（结果要简化）： （1） -1 0 1/2 1 -3 -1/2 0 1 （2） -1 0 1/2 1 -3/2 0 0 1/2 解(2)： 方法一. 由 Lagrange 插值公式 可得： 方法二. 令 由 ， ， 定A，B （称之为待定系数法） □ 15.设，求在区间上的分段线性插值函数，并估计误差，取等距节点，且. 解 ， ， ， 设 ，则： 误差估计： . □ 第三章 最佳一致逼近:(了解) 最佳平方逼近 主要分两种情形： 连续意义下 在空间中讨论 离散意义下 在维欧氏空间中讨论，只要求提供的样本值 最佳逼近多项式的法方程组 设的维子空间 =span, 其中 是的线性无关多项式系. 对，设其最佳逼近多项式可表示为: 由 即 （*2） 其中 称(*2)式为最佳逼近多项式的法方程组（或正规方程组）. 由的线性无关性，可证明正定，即 上述法方程组的解存在且唯一 . 11、 求 ，的一次和二次最佳平方逼近多项式. 解： 设 ， 分别为的一次、二次最佳平方逼近多项式。 内积 计算如下内积： , , , , , , 建立法方程组： (1) ，得： ， 于是 (2) 解得： ， ， , 于是： . □ 第四章 1 为什么要进行数值积分?常用哪些公式,方法? 答: 梯形复化求积公式和simpson复化求积公式. 2: 方法好坏的判断: 代数精度 误差分析 1.代数精度的概念 定义 若求积公式 （*）对所有次数的多项式是精确的，但对 次多项式不精确，则称（*）具有次代数精度。 等价定义 若求积公式（*）对是精确的，但对不精确，则（*）具有次代数精度。 3: 误差 1 等距剖分下的数值求积公式：公式特点：节点预先给定，均匀分布,系数待定利用插值多项式近似代替，即得插值型求积公式Newton-Cotes公式 2 给定节点数下的具有最佳逼近性质（具有最高次代数精度）的数值求积公式：Gauss求积公式 公式特点：系数和节点均待定 3 分段插值多项式近似代替 （分段求积）复化求积公式 复化求积公式 通过高次求积公式提高精度的途径不行，类似函数插值 分而治之： 分段＋低次求积公式---------- 称为复化求积法 两类低次（）求积公式： Newton－Cotes型：矩形、梯形、Simpson、Cotes公式 分别称为复化矩形、梯形、辛甫生、