材料力学 教学课件 作者 范钦珊 第十一章 材料力学中的能量方法.pptVIP

§11.2 互等定理 11.5 莫尔积分应用于直杆时的图乘法 例题 11.6.2 卡氏定理的内力分量形式 顶点 二次抛物线的ω 顶点 目录 二、常见图形的面积和形心位置 L F F 解（1）求自由端的挠度 试用图乘法求所示悬臂梁自由端B的挠度和转角。 目录 F m=1 (2) 求自由端的转角 例题13-12 目录 图示梁的材料为非线性弹性体，Fi 为广义力，Di为广义位移。各力同时作用在梁上，并按同一比例由零逐渐增加到最终值（简单加载）。 11.6.1 卡氏定理及其证明 （8－10） 设各力和相应位移的瞬时值分别为fi ,d i，各力在其相应的 位移上做功,并注意到材料为非线性弹性体，梁的应变能为 11.6 卡氏定理 为位移状态函数。 假设与第 i个荷载Fi相应的位移Di有一微小位移增量dDi， 而与其余荷载相应的位移,以及各荷载均保持不变。外力功和 应变能的增量分别为 （ dDi不是由Fi产生的， Fi dDi为常力做的功 ） （a） (b) 式中， 为应变能对位移 的变化率。 （8－11）式为卡氏第一定理。它说明，弹性结构的应变能，对 于结构上与某一荷载相应的位移之变化率，等于该荷载的值。以上推导中并没有涉及到梁的具体性质，故（8－11）适用于一 切受力状态的弹性体。对于线弹性体也必须把U写成给定位移的函数形式。 （8－11） 得 令 线弹性结构 应变能 第i个外力增加一微量dFi ，结构应变能为 1. 先施加F1，F2，…，Fn，后加dFi * 第十一章 材料力学中的能量方法 §11.1 基本概念 §11.2 互等定理 §11.3 虚位移原理、内力虚功 §11.4 莫尔方法 §11.5 莫尔积分应用直杆时的图乘法 §11.6 卡式定理 §11.7 结论与讨论 11.1.1 作用在弹性杆件上的力所做的常力功和变力功 11.1 基本概念 ◆外力功： 在外力作用下，固体的变形将引起外力的作用点沿其作用方向产生位移，便引起外力做功 。 ◆变形能或应变能： 弹性固体因变形将具有作功的本领 ，即能量 。 ◆能量法： 根据能量守恒原理，外力功w应等于弹性体的应变能 Vε。 本章主要研究能量法的以下问题： 1. 外力功与杆件应变能的计算 ； 2. 能量法的卡式定理 ； 3. 能量法的单位载荷法与莫尔积分 ； 4. 能量法的力法求解超静定结构 。 一、外力功的计算 线弹性结构上的外力功的计算 。 b) 在线弹性范围内，F′与Δ′成正比 a) 1、 F为一个集中力 ， Δ就是沿F作用方向的线位移 1、轴向拉压杆 ◆需要指出： F与Δ均为广义量 2、 F为一个集中力偶 ， Δ就是角位移 3、 F为一对等值、反向的集中力或集中力偶 ， Δ就是相对线位移或相对角位移 11.1.2、杆件的弹性应变能 轴向变形 轴力在d△l上作的功 整根杆的应变能 当FN/EA为常量时 2、圆轴扭转 扭转圆轴的应变能 当T/GIp为常量时 3、对称弯曲梁 对称弯曲梁的应变能 ◆由于刚架同样也是主要承受弯曲变形的结构，所以，上式亦适用于刚架。 4、组合变形杆 例11-1 悬臂梁如图所示，试计算其应变能以及B截面的转角。已知梁的抗弯刚度为常量。 解：（1）梁的应变能 梁任一横截面上的弯矩 （2）截面的转角 梁上外力的功为 Me x B A l 即得梁的应变能 由 于是 旋向与外力偶矩的旋向一致，为顺时针。 例11-2 试求下图所示结构的应变能。已知梁的抗弯刚度为EI，杆的拉压刚度为EA。 解（1）CB杆的轴力 （2）由截面法，得梁的弯矩方程为 得梁的应变能 即得CB杆的应变能 所以，整个结构的应变能 C l A B x q a 例11-3 在下图所示三角支架中，若两杆的拉压刚度均为EA，试计算结点的竖直位移ΔBV。 解（1）计算外力功 （2）计算应变能 由截面法，得AB、CB两杆的轴力分别为 三角支架上外力的功为 三角支架的应变能 2 1 l 45° F A C B （3）计算ΔBV 由 得 11.2.1、功互等定理 在载荷F1和F2共同作用下，1、2点处的位移 先加F1，再加F2 先加F2，再加F1 应变能与加载次序无关 F1在F2单独作用下引起的1点的位移△12上所作的功，等于F2在F1单独作用下引起的2点处的位移△21上所作的功，这就是功互等定理。 11.2.2、位移互等定理 当F1 = F2 时，有 △12 = △21 当F1、F2数值相等时，F2在1点引起的沿F1方向的位移