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浅议距离与离差 七台河市职业技术学校 周冰慧 目 录 摘要 1 关键字 1 1.点到点的距离 1 2.点到直线的距离 1 2.1平面内点到直线距离的概念及判定 1 2.2平面内点到直线距离的求法 1 2.3空间内点到直线距离的计算 1 3.点与平面间的距离 2 3.1离差的定义及点到平面的距离定义 3 3.2点与平面位置关系的判定 3 3.3点到平面距离的计算 3 3.4平面划分空间问题 三元一次不等式的几何意义 3 4.直线到直线的距离 4 4.1空间两直线的相关位置的判定 4 4.2空间直线间距离的计算 5 5.平面到平面的距离 6 5.1平面间的位置关系的判别 6 5.2平面间距离的计算 7 结束语 7 参考文献 8 英文摘要 9 浅议距离与离差 周冰慧 摘要：总结平面及空间内点、直线、平面间的距离求法，并浅议距离和离差的关系. 关键字：距离; 离差; 空间内直线 1.点到点的距离 对于点到点的距离可以分成两种状态考虑，即平面内点到点的距离和空间内点到的 距离. 定理1 在平面内两点与间的距离为 在空间两点与间的距离是 2.点到直线的距离 2.1平面内点到直线距离的概念及判定 平面内点到直线距离的定义为，过点向直线做垂线，垂线段的长度就叫做点到直线的距离。 若点满足直线方程。则点在直线上，若点不满足直线方程则点在直线外 2.2平面内点到直线距离的求法 平面直线与点的相关位置有两种情况，即在直线上和不再直线上，在直线上时距离为零； 不再直线上时可根据高中时学习过的点到直线距离公式求解，平面内点到直线的距离为 2.3空间内点到直线距离的计算 空间直线与点的相关位置有两种情况，即点在直线上与点不再直线上，点在直线上的条件是点的坐标满足直线方程，这是点与直线的距离为零 当点不在直线上时，在空间直角坐标系下给定空间一点与直线 这里为直线上的点，为直线的方向矢量。我们考虑和矢量为两边构成的平行四边形，这个平行四边形的面积等于，显然点到的距离就是这平行四边形的对应于为底的高 因此我们有 例1 求点到直线的距离 解 将直线方程化为标准方程 令，解 得 3.点与平面间的距离 3.1离差的定义及点到平面的距离定义 在求点与平面间距离之前，我们先引进点关于平面离差的概念 定义 如果自点到平面引垂线，其垂足为Q，那么矢量在平面的单位法矢量上的射影叫做点与平面间的离差， 记做 那么，有如下 定理2 点与平面 间的离差为 这里 推论1 点与平面 间的距离的离差是 显然，离差的绝对值，就是点与平面之间的距离。 3.2点与平面位置关系的判定 容易看出，空间的点与平面间的离差。当且仅当点位于平面的单位法矢量所指向的一侧，与同向，离差0;在平面的另一侧，与方向相反，离差0;当且仅当在平面上时，离差=0。 3.3点到平面距离的计算 推论1 点与平面 间的距离的距离为是 3.4平面划分空间问题 三元一次不等式的几何意义 定理3 设 平面的一般的方程为 那么，空间任何一点对平面的离差为 式中为平面的法化因子，所以有 对于平面同侧的点，当是同侧的点时的符号相同；对于平面异侧的店，的符号相反；因此可知平面把空间划分为两部分，对于某一部分的点;对于另一部分点，则有,在平面上的点 4.直线到直线的距离 4.1空间两直线的相关位置的判定 空间两直线的相关位置有异面与共面，在共面中又有相交 平行于重合三种情况，现在我们来导出这些相关位置成立的条件. 设两个直线的方程为： ① ② 定理4 判定空间两直线①与②的相关位置的充要条件为 1°异面： ； 2°相交： ； 3°平行： ； 4°重合 ； 4.2空间直线间距离的计算 1.特殊情况时两直线间间距离 空间两直线上的点之间的最短距离叫做这两条直线之间的距离 显然，两条相交或重合的直线间距离等于零； 两平行直线间的距离等于其中中一条直线的任意一点到另一条直线的距离（