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China Three Gorges University Zhejiang Normal University China Three Gorges University 回归分析数学建模案例 土豆施肥效果分析（1992年全国数学建模竞赛） 一. 原题简介 二. 简化后的题目 1. 线性回归模型 2. 多项式回归模型 3. 含交叉项的多项式回归模型 目 录 一. 原题简介 一、原 题 土豆施肥量与产量数据表 N 30．75 471 40．83 404 43．46 336 43．15 259 39．45 202 34．03 135 32．29 101 25．72 67 21．36 34 15．18 0 产量 (t/ha) 施肥量 (kg/ha) K 46．22 651 42．77 558 43．87 465 38．43 372 37．73 279 38．44 186 38．52 140 34．86 93 27．35 47 18．98 0 产量 (t/ha) 施肥量 (kg/ha) 24．53 685 22．07 587 21．34 489 22．64 391 21．94 294 17．10 196 14．33 147 12．46 98 9．48 49 6．39 0 产量 (t/ha) 施肥量 (kg/ha) P 生菜施肥量与产量数据表 P N K 42．73 342 40．36 294 42．17 245 41．26 196 40．09 147 41．04 98 37．96 73 36．06 49 32．47 24 33．46 0 产量 (t/ha) 施肥量 (kg/ha) 14．11 392 16．12 336 19．34 280 21．63 224 22．59 168 17．75 112 16．27 84 14．56 56 12．70 28 11．02 0 产量 (t/ha) 施肥量 (kg/ha) 19．40 651 20．11 558 15．84 465 17．97 372 19．20 279 17．56 186 16．24 140 16．89 93 16．76 47 15．75 0 产量 (t/ha) 施肥量 (kg/ha) 二. 简化后的题目 二、简化后的题目 59 470 320 9 43 370 320 8 49 270 320 7 52 470 260 6 42 370 260 5 44 270 260 4 49 470 200 3 37 370 200 2 48 270 200 1 产量Y (t) K(kg) N(kg) 序号 数据的中心标准化 1. 线性回归模型 1、线性回归模型 模型1： 数据矩阵和向量： 经计算得： 故得回归方程： 1、线性回归模型 1、线性回归模型 2. 多项式回归模型 2、多项式回归模型 模型2： 数据矩阵： 经计算得： 故得回归方程： 2、多项式回归模型 2、多项式回归模型 由此观之，此多项式回归模型的拟合效果显然大大优于线性回归模型。 3.含交叉项的多项式回归模型 目 录 3、含交叉项的多项式回归模型 模型3： 经过同样的计算可得回归方程： China Three Gorges University Zhejiang Normal University China Three Gorges University 在土豆生长期间，施用不同量的氮（N）和钾（K）肥，土豆产量结果见附表，求土豆产量与施肥量之间的关系。 某研究所为了研究N、P、K三种肥料对于土豆和生菜的作用，分别对每种作物进行了三组实验，实验中将每种肥料的施用量分为10个水平，在考察其中一种肥料的施用量与产量关系时，总是将另二种肥料固定在第7个水平上，实验数据如下列表格所示，其中ha表示公顷，t表示吨，kg表示千克，试建立反映施肥量与产量关系的模型，并从应用价值和如何改进等方面作出评价． 施肥量与产量关系的实验数据如下： 首先，为了计算方便，对数据作中心标准化处理，即令 ， 注意：这里260和370是中位数，60和100是极值差距。 如果说，施肥量与土豆产量有很密切的关系，则应该有： 其中可能是线性函数，也可能是多项式函数，或者是其他类型的函数，探求的具体形式是本题的目的，需要用回归分析方法。 偏差平方和： 回归平方和： 残差平方和： 复相关系数： 显然，模型（1）对所给数据的拟合效果较差，由对数据的直观观察亦可以看出，用线性模型去拟合所给数据是不合适的。 偏差平方和： 回归平方和： 残差平方和： 复相关系数： 注意：至此为止，我们并没有考虑两种肥料（氮和钾）的交叉作用，若要反映交互