专题十四探索性问题教师版.docVIP

2011届高考数学二轮专题十四 探索性问题 如果把一个数学问题看作是由条件、依据、方法和结论四个要素组成的一个系统,那么把这四个要素中有两个是未知的数学问题称之为探索性问题.条件不完备和结论不确定是探索性问题的基本特征. [来源:学*科*网Z*X*X*K] 近年来,探索性问题在高考试题中多次出现,主要有以下几类： (1)条件探索型问题：从给定的问题结论出发,追溯结论成立的充分条件； (2)结论探索型问题：从给定的题设条件出发,探求相关的结论； (3)规律探索型问题：根据已知条件或所提供的若干个特例,发现题目所蕴含的本质规律与特征； (4)方案设计型探索问题：提出一个数学问题情况,要求考生按要求设计某种方案来解决； ⑸存在探索型问题：从假设相关结论存在出发,从而肯定或否定这种结论是否存在； 怎样提高解探索问题的能力 1．注重双基的训练,夯实基础知识. 2．不断提高阅读、理解、观察、分析和归纳等方面的能力.[来源:学。科。网] 3．注意思维品质的培养,尤其是思维的敏捷性与深刻性. 4．增加数学意识,自觉运用数学思想. 5．经常总结一些解决探索性问题的方法,积累一些较典型的例题的解法,体会其中的数学思想、数学方法等. 预测2011年数学试卷中继续保持了探索型、开放型、研究型等题型,形式上也会有所突破,如只猜不证,只算不写等；填空题中出现了条件、结论完全开放的设计,题型的创新,带来了新的理念,这必将促进教学的创新. 解决探索性问题,较少现成的套路和常规程序,需要较多的分析和数学思想方法的综合运用.对观察、联想、类比、猜测、抽象、概括诸方面的能力有较高要求.高考题中一般对这类问题有如下方法： 1．直接法 2．观察—猜测—证明 3．赋值推断 4．数形结合 5．联想类比 6．等价转化 7．特殊——一般——特殊 （一）条件探索型 【例1】试问：当且仅当实数x0,x1,x2满足什么条件时,存在实数y0,y1,y2使得 z02=z12+z22成立,其中zk=xk+iyk,i为虚数单位,k=0,1,2,.证明你的结论. 解：若z02=z12+z22成立,即 x02-y02+2ix0y0=x12+x22-y12-y22+2ix1y1+2ix2y2,,则由复数相等的条件得 即 由②得: x02 y02=(x1y1+x2y2)2 又∵(x1y1+x2y2)2≤(x12+x22)(y12+y22) ∴x02y02≤(x12+x22) (y12+y22) ③ 如果x02x12+x22,由①式得 y02y12+y22,从而 x02y02( x12+x22) (y12+y22) 与③矛盾.于是得 x02≤x12+x22 ④ 反之若（4）式成立,则存在实数y0,y1,y2使z02=z12+z22成立,其中zk=xk+iyk (k=0,1,2) 事实上, （i）当x02=x12+x22时,则取y0=x0,y1=x1,y2=x2,（1）（2）式显然成立. （ii）当x02x12+x22时,记a2= x12 +x22- x02,从而x1,x2不全为零,不妨设x2≠0,取y0=0,, y1=,y2=,则x12+x22-x02=a2, y12+y22-y02=+=a2, ∴x12+x22-x02= y12+y22-y02 而 x1·y1+x2·y2 =x1·+=0=x0y0 ∴z02=z12+z22成立. 综上所述：所求的充要条件为：x02≤x12+x22 【名师点睛】： （1）本题是条件追溯型,由结论先求出结论成立的必要条件,然后再证明其条件是充分的.这是解这类问题的一般方法. （2）本题充分性的证明采用分类讨论及构造法,难度较大.我们如果对此题继续探索研究,不难发现.当在x02=x12+x22时,这时要使不等式(x12+x22) (y12+y22)=(x1y1+x2y2)2只要使即可,故取法不唯一,即如果y0,y1,y2满足条件,则λy0, λy1, λy2也满足条件.当在x02x12+x22时,y0,y1,y2的取法更多,建议读者自行研究. （3）本题可以推广到一般的情况：即当实数x02≤x12+x22+…+xn2 (n≥2)时,存在实数y0,y1,…,yn,使得z02= z12 + z22+…+zn2成立,其中zk=xk+iyk,k=0,1,2,…,n,i为虚数单位.反之亦成立. （二）结论探索问题 结论探索问题是指仅给出某种情境而没有明确指出结论,需要解题者去探索符合条件的一类试题．这类探索问题的设问常以适合某种条件的结论“成立”、“不成立”、“是否成立”等语句加以表述,或直接问“有何结论”等．它与传统题的区别在于：探索问题的结论往往也是解题过程． 【例2】已知函数＝＋有如下性质：如果常数＞0,那么该函数在0,上是减函数,在,＋∞上是增函数．