连续与一致连续.docVIP

专题2 连续与一致连续 函数连续的概念和定义 函数连续的概念: 如果函数在区间上有定义，并且函数的图象是连续不断的，我们称函数在区间上连续. (一) 函数在点连续的相关定义 函数在点连续 设函数定义在内，如果，则我们称函数在点连续. 设函数定义在内，对，，当时，有,则我们称函数在点连续. 函数在点右连续 设函数定义在内，如果，则我们称函数在点右连续. 设函数定义在内，对，，当时，有,则我们称函数在点连续. 函数在点左连续 设函数定义在内，如果，则我们称函数在点左连续. 设函数定义在内，对，，当时，有,则我们称函数在点左连续. (二) 函数在区间上连续 1、函数在区间内连续 如果函数在区间内任意一点连续，则我们称函数在区间内连续. 设是区间内的任意一点, 对，，当时()，有,则我们称函数在区间内连续. 2、函数在区间连续 如果函数在区间内任意一点连续，并且在点左连续, 则我们称函数在区间连续. 3、函数在区间连续 如果函数在区间内任意一点连续，并且在点右连续, 则我们称函数在区间连续. 4、函数在区间上连续 如果函数在区间内任意一点连续，并且在点左连续、点右连续, 则我们称函数在区间上连续. 函数一致连续的概念和定义 函数连续的概念: 如果函数在区间上有定义，函数的图象是连续不断的，并且函数的图象没有铅直的渐进线，我们称函数在区间上一致连续. 例如，函数在区间内连续，但不一致连续. 设函数在区间上有定义，是区间内的任意一点, 对，，当时，有,则我们称函数在区间上一致连续. 说明: 对给定的, 由于区间内的点对有无穷多个, 所以对每一对均存在一个, 进而有无穷多个, 无穷多个中有最小的, 我们称函数在区间上一致连续. 无穷多个中没有最小的, 我们称函数在区间上不一致连续. 函数的间断点（不连续点） 如果，我们称函数在点间断. (一) 第一类间断点 1、可去间断点 如果极限存在，但不等于，我们称点为函数的可去间断点. 2、跳跃间断点 如果极限和都存在但不相等，我们称点为函数的跳跃间断点. 可去间断点与跳跃间断点统称为第一类间断点. (二) 第二类间断点 非第一类间断点称为第二类间断点. 例如，狄利克雷（Dirichlet）函数定义域上的任意一点为第二类间断点. 因为,所以不存在. 再例如,对函数,是函数的第二类间断点. 因为不存在(不存在前面已证). 四、例题与练习 1、连续 例1 (天津大学2006年)证明: 函数在处连续(用语言证明). 证明: 因为, 对, 存在, 当时, 有, 所以函数在处连续. 例2 (天津大学2005年)证明: 函数在处连续(用语言证明). 证明: 因为, , 所以, 对，，当时，有. 又因, , 所以. 故函数在处连续. 例3 (复旦大学2002年)证明函数在区间上不一致连续. 证明: 取,,,则.因为 所以, 存在,对所有,当时, 有故函数在区间上不一致连续. 证法2: 取,,,则.因为,而,所以函数在区间上不一致连续. 例4(中北大学2005年)证明函数在区间内不一致连续, 在与上均一致连续. 证明 取,,,则.因为,而,所以函数在区间上不一致连续. 由于函数在区间上连续, 所以函数在区间上一致连续. 由于函数在区间上连续, 所以函数在区间()上一致连续. 因为,对,当时,有. 进而函数在区间()上一致连续. 例5 (北京工业大学2005年)设和为区间上的连续函数，试证明为区间上的连续函数. 证明：因为，所以只要证明为区间上的连续函数即可.对,由于和为区间上的连续函数, 所以,对，，当时，有,.又因,所以为区间上的连续函数. 例6(江苏大学2006年)设函数为上的单调增函数,其值域为,证明在上连续. 证明:因为函数为上的单调增函数,所以函数在上任意一点的极限都存在. 如果函数在上不连续,则函数在上存在间断点,如果,则.由函数在上的单调性知, 函数无法取到上的值,这与函数的值域为矛盾. 如果,则.由函数在上的单调性知, 函数无法取到上的值,这与函数的值域为矛盾. 如果，则不等式及至少有一个成立,不妨设.由函数在上的单调性知, 函数无法取到上的值, 这与函数的值域为矛盾. 故函数在上连续. 例7(西安交通大学2001年)证明:满足函数方程的惟一不恒为零的连续函数是指数函数,其中. 分析:要说明函数是指数函数,应证明①;②,其中是实数;③. 证明:首先证明①.因为,又因为(因为在上不恒为零,所以存在,使).所以,进而. 其次证明,其中是实数. 当时, 由得得. 当,为正整数时,. 当,为正整数时, , 又因为,所以.进而. 当,为正整数时, , 当为无理数时,有有理数列,使得.因函数连续,所以 . 最后证明. 因为,所以. 例8(北京交通大学2006年、江苏大学2006年)设函数是区间上