高考数学复习题库8.7 立体几何中的向量方法（Ⅰ）----证明平行与垂直【更多关注@高中学习资料库 】.docVIP

8.7 立体几何中的向量方法（Ⅰ）----证明一、选择题 1．若直线l1，l2的方向向量分别为a＝(2,4，－4)，b＝(－6,9,6)，则(　　)． A．l1l2 B．l1l2 C．l1与l2相交但不垂直 D．以上均不正确 答案　B 2．直线l1，l2相互垂直，则下列向量可能是这两条直线的方向向量的是(　　) A．s1＝(1,1,2)，s2＝(2，－1,0) B．s1＝(0,1，－1)，s2＝(2,0,0) C．s1＝(1,1,1)，s2＝(2,2，－2) D．s1＝(1，－1,1)，s2＝(－2,2，－2) 解析 两直线垂直，其方向向量垂直，只有选项B中的两个向量垂直． 答案　3．已知a＝，b＝满足a∥b，则λ等于(　　)． A. B. C．－ D．－ 解析　由＝＝，可知λ＝. 答案　B 4．若直线l的方向向量为a，平面α的法向量为n，能使lα的是 (　　)． A．a＝(1,0,0)，n＝(－2,0,0) B．a＝(1,3,5)，n＝(1,0,1) C．a＝(0,2,1)，n＝(－1,0，－1) D．a＝(1，－1,3)，n＝(0,3,1) 解析　若lα，则a·n＝0. 而A中a·n＝－2， B中a·n＝1＋5＝6， C中a·n＝－1，只有D选项中a·n＝－3＋3＝0. 答案　D 5．若平面α，β平行，则下面可以是这两个平面的法向量的是(　　) A．n1＝(1,2,3)，n2＝(－3,2,1) B．n1＝(1,2,2)，n2＝(－2,2,1) C．n1＝(1,1,1)，n2＝(－2,2,1) D．n1＝(1,1,1)，n2＝(－2，－2，－2) 解析 两个平面平行时其法向量也平行，检验知正确选项为D. 答案　 6．已知a＝(2，－1,3)，b＝(－1,4，－2)，c＝(7,5，λ)，若a，b，c三向量共面，则实数λ等于(　　)． A. B. C. D. 解析　由题意得c＝ta＋μb ＝(2t－μ，－t＋4μ，3t－2μ)， ∴. 答案　D ．已知平面α内有一个点A(2，－1,2)，α的一个法向量为n＝(3,1,2)，则下列点P中，在平面α内的是(　　) A．(1，－1,1) B. C. D. 解析 对于选项A，＝(1,0,1)，则·n＝(1,0,1)·(3,1,2)＝5≠0，故排除A；对于选项B，＝，则·n＝·(3,1,2)＝0，验证可知C、D均不满足·n＝0. 答案 B 二、填空题 ．两不重合直线l1和l2的方向向量分别为v1＝(1,0，－1)，v2＝(－2,0,2)，则l1与l2的位置关系是_______． 解析　v2＝－2v1，v1∥v2. 答案　平行 ．平面α的一个法向量n＝(0,1，－1)，如果直线l平面α，则直线l的单位方向向量是s＝________. 解析 直线l的方向向量平行于平面α的法向量，故直线l的单位方向向量是s＝±. ± 10．已知点A，B，C平面α，点Pα，则·＝0，且·＝0是·＝0的_______． 解析　由，得·(－)＝0， 即·＝0，亦即·＝0， 反之，若·＝0， 则·(－)＝0·＝·，未必等于0. 答案　充分不必要条件 ．已知＝(2,2,1)，＝(4,5,3)，则平面ABC的单位法向量是________． 解析　设平面ABC的法向量n＝(x，y，z)． 则即 令z＝1，得n＝， 平面ABC的单位法向量为±＝±. 答案　± ．已知＝(1,5，－2)，＝(3,1，z)，若，＝(x－1，y，－3)，且BP平面ABC，则实数x，y，z分别为________．解析 由题知：，. 所以即 解得x＝，y＝－，z＝4. ，－，4三、解答题 ．已知：a＝(x,4,1)，b＝(－2，y，－1)，c＝(3，－2，z)，a∥b，b⊥c，求： a，b，c　因为a∥b，所以＝＝， 解得x＝2，y＝－4， 这时a＝(2,4,1)，b＝(－2，－4，－1)． 又因为b⊥c， 所以b·c＝0，即－6＋8－z＝0， 解得z＝2，于是c＝(3，－2,2)． 如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M、N分别是C1C、B1C1的中点．求证：MN平面A1BD. 证明　法一　如图所示，以D为原点，DA、DC、DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1， 则M，N，D(0,0,0)，A1(1,0,1)，B(1,1,0)， 于是＝， 设平面A1BD的法向量是n＝(x，y，z)． 则n·＝0，且n·＝0，得 取x＝1，得y＝－1，z＝－1.n＝(1，－1，－1)． 又·n＝·(1，－1，－1)＝0， ⊥n，又MN平