高等数学讲义第一章函数连续极限.docVIP

第一部分 函数、极限、连续 一、 函数 内容要点 一、函数的概念 1．函数的定义 2．分段函数 3．反函数 4．隐函数 二、复合函数与初等函数 三、高等数学中常出现的非初等函数 1．用极限表示的函数 (1) (2) 2．用变上、下限积分表示的函数 (1) 其中连续，则 (2) 其中可导，连续， 则 四、函数的几种性质 有界性： 奇偶性： 单调性： 周期性： 典型例题 一、定义域与值域 二、求复合函数有关表达式 例1 设，求 解：， 若，则 根据数学归纳法可知，对正整数， 例2 已知，且，求 解：令，，因此， ，∴ 三、有关四种性质 例1 设，则下列结论正确的是 [ ] （A）若为奇函数，则为偶函数 （B）若为偶函数，则为奇函数 （C）若为周期函数，则为周期函数 （D）若为单调函数，则为单调函数 例2 求 解 是奇函数， 是奇函数， 因此是奇函数 于是 例3 设是恒大于零的可导函数，且，则当时，下列结论成立的是 [ ] （A） （B） （C） （D） 四、函数方程 例1．设在上可导，，反函数为，且，求。 解：两边对求导得，于是，故，，由，得，则。 例2 设满足，求 解：令，则 ， ， ， …… ， 各式相加，得 ，∴ 因此，于是 或（k为整数） ◆例3 是连续函数，且，则_____________.（2010全国） 二、极限 内容要点 一、极限的概念与基本性质 二、无穷小 常见的等价无穷小，当时 ，，，，，，，。 三、求极限的方法 1．利用极限的四则运算和幂指数运算法则 2．两个准则 准则1：单调有界数列极限一定存在 准则2：夹逼定理 3．两个重要公式 公式1： 公式2：；； 4．用无穷小重要性质和等价无穷小代换 5．用泰勒公式 当时， 6．洛必达法则 法则1：（型）设（1） （2）变化过程中，，皆存在 （3）（或） 则（或） 法则2：（型）设（1） （2）变化过程中，，皆存在 （3）（或） 则（或） 7．利用导数定义求极限 基本公式：[如果存在] 8．利用定积分定义求极限 基本公式 [如果存在] 9． 变量替换 10．其它综合方法 11．求极限的反问题有关方法 典型例题 一、通过各种基本技巧化简后直接求出极限 二、用两个重要公式 例1 求 解：当，原式=1 当时，原式 =… 三、用夹逼定理求极限 例1求 解：令，， 则，于是 由夹逼定理可知：，于是原极限为0 例2 求 解： 而 由夹逼定理可知 例3．求。 (2003) 四、用定积分定义求数列的极限 例1．求 分析：如果还想用夹逼定理中的方法来考虑 而， 由此可见，无法再用夹逼定理，因此我们改用定积分定义来考虑 解： 例2. 求 解： 而 由夹逼定理可知， 五、用洛必达法则求极限 1．型和型 例1．求 解：若直接用型洛必达法则1，则得=（不好办了，分母的次数反而增加） 为了避免分子求导数的复杂性，我们先用变量替换，令 于是（型） 例2． ( 2003) 例3．计算：。（2004） 例4．计算：。（2005） 2．型和型 例1 求 例2 设，常数。求 3．“”型，“”型和“”型 例1 求 例2 设，常数，求 六、求分段函数的极限 七、用导数定义求极限 例1 设曲线与在原点相切，求 解：由题设可知， 于是 八、递推数列的极限 例1 设，，证明存在，并求其值。 九、变量替换 十、求极限的反问题 例1 设，求和 解：由题设可知，，再由洛必达法则得 例2 设在内可导，，，且满足，求。 解： 因此，，， ，由，可知 则 十一、用等价无穷小量 已知，求a,b的值。 例3. 求极限。(2002) 三、连续 内容要点 一、函数连续的概念 二、函数的间断点及其分类 三、初等函数的连续性 四、闭区间上连续函数的性质 典型例题 一、讨论函数的连续性 例1 讨论函数 在点处的连续性。 二、间断点问题 三、用介值定理讨论方程的根 例1 证明五次代数方程在区间（1，2）内至少有一个根。 例2 设在上连续，且。求证：在上至少存在一点使（正整数） 证：令， 则 于是 （ⅰ）如果有为0，则已经证明 ∵，成立。 （ⅱ）如果全不为0， 则不可能同号，否则相加后不为0，矛盾。 所以其中一定有异号，不妨假设，与异号。 根据介值定理推论存在使 则，使成立。 证明：若对任意实数，有，且在处连续，则在区间上连续。 例4 设连续，，且，A为常数，求并讨论在处的连续性。（2009） 例5 设为连续函数，且，证明在[0,1]上方程有唯一解。（2009） 10 5