理论力学 教学课件 作者 顾晓勤 等 第1节 质点系的自由度.PPTVIP

* 第 1 节 约束 自由度 广义坐标 第十四章 虚位移原理 * 在牛顿定律基础上建立起来的力学体系中，所讨论的许多力学概念如速度、加速度、角速度、角加速度、力和力矩等，都是以矢量形式出现的物理量，因此可将牛顿力学称为矢量力学。对于不受约束的自由体，用矢量力学方法研究最为便利；但对于非自由质点系，用矢量力学方法建立动力学方程中，不可避免地出现约束力，不能有效减少方程中未知变量的数目，使求解过程复杂化。 在18世纪，随着机器生产的迅速发展，要求对刚体和受约束机械系统的运动进行分析。但由于未知的约束力使运动微分方程的未知变量急剧增加，因此用矢量力学方法讨论受约束物体的运动显得十分不便。在此历史背景下，出现了分析力学。 第十四章 虚位移原理 分析力学的特点是引进标量形式的广义坐标、能量和功，用广义坐标描述非自由质点系的运动，用能量和功的分析代替矢量分析，然后利用微积分学和变分学的方法，得出求解力学问题统一的原理和公式，用分析力学方法研究受约束机械系统可以避免系统内理想约束力的出现，是解决力学问题的一种普遍方法，分析力学是另一种力学体系。 虚位移原理是分析静力学的最一般原理，它给出了任意质点系平衡的充分必要条件，减少了不必要的平衡方程，以系统主动力做功出发研究质点系的平衡问题。对于只有理想约束的物体系统，因未知约束反力不做功，应用虚位移原理求解往往比列静力平衡方程求解更方便。 第十四章 虚位移原理 一、约束及约束方程 在工程中的质点系一般是非自由质点系。质点系中各质点在运动过程中，其位置或位移必须服从某些预先规定的限制条件。限制质点或质点系运动的各种条件称为约束。将这些限制条件以数学方程式来表示则称为约束方程。 约束的分类 1、几何约束与运动约束 几何约束：限制质点或质点系在空间的几何位置的条件称为几何约束。 例：摆锤的运动 运动约束：当质点系运动时受到某些运动条件的限制称为运动约束。 例：曲柄连杆机构 几何约束 运动约束 例：车轮作纯滚动 2、定常约束与非定常约束 定常约束：约束方程中不显含时间 的约束称为定常约束（或稳定约束）。 约束方程中显含时间 的约束称为非定常约束（或不稳定约束）。 例：将摆球的绳穿在一小环上，如图。设初始摆长为 ，并以不变的速度 拉动摆绳，单摆的约束方程为： 因约束方程中有时间变量 ，属于非定常约束。 3、单面约束与双面约束 单面约束：约束方程以不等式表示的约束称为单面约束（或非固执约束）。这种约束只能限制物体某些方向的运动，而不能限制相反方向的运动。 例：人跑跳时脚受到地面的单面约束。 例：如果柔索长度不变，即速度 = 0 柔索只能限制摆锤 A 向圆周外运动，而不能阻挡摆锤 A 向圆内运动，其约束方程应写为 单面约束 双面约束：约束方程以等式表示的约束称为双面约束(或固执约束)。这种约束如能限制物体向某一方向的运动，则必定也能限制与其方向相反的运动。 例：摆锤的运动摆，借助于刚性杆或不可伸长的柔索可实现摆锤A 沿圆周运动。而刚性杆则限制摆锤 A 只能作圆周运动，其约束方程为 这种约束就是双面约束 4、完整约束与非完整约束 完整约束：约束方程不包含质点速度，或者包含质点速度，但约束方程是可以积分的约束称为完整约束。 非完整约束：约束方程包含质点速度，且约束方程是不可以积分的约束称为非完整约束。 例：车轮作纯滚动 积分得 因约束方程包含质点速度且可积分，故为完整约束。 二、自由度 自由质点系：如果质点系中的所有质点都可以在空间作自由运动而不受任何限制，则这样的质点系称自由质点系。 确定一个自由质点在空间的位置需要 3 个独立的坐标，因此，自由质点在空间有 3 个自由度。一个由 个质点组成的质点系在空间的位置，在直角坐标系中需用 3 个坐标来描述。 设 个质点组成的质点系在三维空间运动，受有 个完整约束，则质点系的 3 个坐标非完全独立的，只有 个坐标是独立的，也即，需要有 个独立参变量才能确定质点系在空间的位置，即质点系具有 个自由度。 设 个质点组成的质点系在三维空间运动，受有 个完整约束，则质点系的 3 个坐标非完全独立的，只有 个坐标是独立的，也即，需要有 个独立参变量才能确定质点系在空间的位置，即质点系具有 个自由度。 注意 平面运动的质点：其独立坐标为（ ， ），自由度