离散数学 第2版 教学课件 作者 王元元 离散第26讲 关系及其运算.pptVIP

第26讲 关系及其运算 关系及其运算 引言 “关系”——事物之间的联系 人与人之间：父子关系、朋友关系、师生关系 数与数之间：大于关系、小于关系、整除关系… 集合与集合之间：包含关系 元素与集合之间：隶属关系 命题与命题之间：逻辑等价关系、逻辑蕴涵关系 程序与程序之间：调用关系 宇宙万物之间充满了各种各样的关系 怎样为关系建立数学模型？ P(x,y):x,y有关系P； x,y有图G所示关系 回顾：序偶和集合的笛卡儿积 由两个具有固定次序的客体组成的序列，称为序偶，记作x,y 其中x称为序偶的第一分量，y称为序偶的第二分量 x,y=a, b 当且仅当 x=a, y=b 对任意集合A，B，它们的笛卡尔积是由所有以A中元素为第一分量，B中元素为第二分量的序偶组成的集合 A?B = {x,y | x? A∧y? B} 笛卡尔坐标系是实数集合与实数集合的笛卡尔积 集合论中的关系模型 集合论将关系刻画为一个序偶的集合，所有具有这种关系的对象组成的序偶都是集合的成员 关系的基本概念 定义：设A，B是集合，其笛卡儿积A?B的子集R称为A到B的一个二元关系。若A=B，则称R为A上的二元关系 除了二元关系外，还有三元关系，四元关系…… 注意点： 关系仍是一个集合，其元素为序偶 a, b ?R，可表示为aRb，反之可表示为┐aRb 从集合A到B有多少个关系？ 2|A|×|B|(|A|=m,|B|=n时, A到B有2mn个关系) {x,y?y=2x+5}是实数域上的一个线性关系 {x,y?x2+y2=1}是实数域上的一个圆关系 与关系有关的一些术语 设A，B为集合，R是A到B的一个关系，即R ? A×B A为R的前域 B为R的陪域 R中各元素的第一分量所组成的集合称为R的定义域，记成Dom(R) ，即Dom(R) = {x | x?A∧?y(y?B∧x,y?R)} R中各元素的第二分量所组成的集合称为R的值域，记成Ran(R) ，即Ran(R) = {y | y?B∧?x(x?A∧x,y?R)} 关系的表示方法 列举法 关系的表示方法 关系的特殊表示方法 关系图 关系的表示方法 关系矩阵 集合A上三个特殊的二元关系 给定集合A，|A|=n，A上共有2n ?n个不同的二元关系，其中 ? ? A ? A，故?是A上的一个关系，称为A上的一个空关系 A ? A也是A上的一个关系，称为A上的一个全关系 EA = {x,x | x?A}称为A上的相等关系 从关系图看关系 从关系矩阵看关系 两个关系相等的定义 关系是一种所有元素都是序偶的集合 集合的相等是怎么定义的？ 外延公理：两个集合相等当且仅当具有完全相同的元素 定义：设关系R和S有相同的前域和相同的陪域，则当?x?y(xRy ? xSy)时，称R = S R与S有相同的前域和陪域这一条件无关紧要 扩充关系R和S的前域和陪域 只需当两个关系有相同的序偶时，就认为这两个关系是相等的 关系的基本运算 集合的并、交、差、补运算对关系同样适用： 关系的并： x(R∪S)y ? xRy∨xSy 关系的交： x(R∩S)y ? xRy∧xSy 关系的差： x(R – S)y ? xRy∧┐xSy 关系的补 xRˉy ? ┐xRy 关系的基本运算 逆关系 定义：设A和B是两个集合，R是A到B的关系，则R的逆关系是B到A的一个关系，记为R~，定义为： 　　　　　　R~ = {y,x | x,y ? R} 关系运算与关系矩阵 MR∪S = MR∨Ms （矩阵对应分量做逻辑析取） MR∩S = MR∧Ms （矩阵对应分量做逻辑合取） 关系运算与关系矩阵 MSˉ = (MS)ˉ （矩阵各分量取逻辑非） MR– S = MR∩Sˉ = MR∧MSˉ 关系运算与关系矩阵 MR~ = (MR)T （矩阵转置） 关系运算的性质 定理：设R，R1，R2均是A到B的关系，那么 （1）R~ ~ = R （2）(R1 – R2)~ = R1~ – R2~ （3）(R1∩R2)~ = R1~ ∩R2~ （4）(R1∪R2)~ = R1~ ∪R2~ （5）Rˉ ~ = R~ ˉ （6）R1 ? R2 当且仅当 R1~ ? R2~ 关系的复合 设《红楼梦》中人物之间的兄弟关系为R，父子关系为S，则 R={贾宝玉,贾环，贾政,贾赦, …} S={贾政,贾宝玉,贾政,贾环，贾赦,贾琏, …} 贾政,贾赦 ? R 贾赦,贾琏 ? S 贾政,贾琏 —— “叔侄”关系 关系的合成运算 定义：设R是A到B的二元关系，S是B到C的二元关系， R?S(为A到C的二元关