离散数学 第2版 教学课件 作者 王元元 离散第12讲 证明的方法.pptVIP

第12讲 证明的方法 证明的方法 内容回顾 逻辑等价式和逻辑蕴涵式的三种证明方法 真值表法 对指派进行讨论 利用代入、替换进行推演 内容回顾 逻辑等价式和逻辑蕴涵式的三种证明方法 真值表法 对指派进行讨论 利用代入、替换进行推演 内容回顾 逻辑等价式和逻辑蕴涵式的三种证明方法 真值表法 对指派进行讨论 利用代入、替换进行推演 应用：推理 所谓推理是指从前提出发推出结论的思维过程，前提是已知的命题公式集合，结论是从前提出发应用推理规则推出的命题公式 定义：设A1, A2, …, Ak和B都是命题公式，若对于A1, A2, …, Ak和B中出现的命题变元的任意一组指派，当A1 ∧A2∧…∧Ak为真时B也为真，则称由前提A1, A2, …, Ak推出结论B的推理是有效的或正确的，并称B是有效的结论 推理与重言式 定理：命题公式A1, A2, …, Ak推B的推理正确当且仅当A1∧A2∧…∧Ak ┝ B 判断下面的推理是否正确： 推理与重言式 定理：命题公式A1, A2, …, Ak推B的推理正确当且仅当A1∧A2∧…∧Ak ┝ B 判断下面的推理是否正确： 应用：证明 在实际应用中常见的情况是: 已知一个前提的集合，例如{A,B,C,D}，要求证一个 结论，例如K，或求解“K是否可以由前提集合推出”。 我们可以怎么做？ （1）求证：A?B ?C?D╞K； 或证明A?B ?C?D╞K不能成立 （2）想想我们在“证明”中是怎样做的：建立一个 由A,B,C,D以及由它们用逻辑规则推理出的结果的序 列，而这个序列的末段是K。 如何完成这样的证明？可用哪些逻辑规则？这正是“证明技术”要告诉大家的。 证明：常用规则 所有逻辑蕴涵式均可用做推理规则 为证A→B，人们常以A为假设而证B。 已知A∨B并且A→C,B→C,那么C真。 (推理中分别情况进行证明的思想) 为证?A，假设A导出矛盾B∧?B。 (推理中运用反证法进行证明的思想) 实例1 已知： 1、只要你认真听课、认真做作业，你考试就能及格； 2、你认真听课； 3、你考试不及格； 结论： 你没有认真做作业 证明的例子 实例 已知事实： （a）如果委员会拒绝通过新条令，那么罢工不结束，或者罢工持续一年并且商行董事长辞职。 （b）罢工刚刚开始。 得出结论：如果委员会拒绝通过新条令,那么罢工不结束。 证明上述推理是正确的(有效的) 。 解.首先将事实和结论形式化。 p：委员会拒绝通过新条令。 q：罢工结束。 r：商行董事长辞职。 s：罢工持续一年。 于是,问题的已知事实是{ p→(┐q∨(r∧s)),┐s},结论是p→┐q 欲证p→(┐q∨(r∧s))∧┐s╞ p→┐q 方法一 （1） p→(┐q∨(r∧s)) 前提 （2） p 由结论的前提作当然假设 （3）┐q∨(r∧s) 由(1)(2)和I3 （3.1）┐q 由(3)作分支假设 （3.2）r∧s 由(3)作分支假设 （3.2.1）s 由(3.2)和I2 （3.2.2）┐s 前提 （3.2.3）┐q 由(3.2.1)（3.2.2） 和逻辑蕴涵式A? ┐A╞B （4）┐q 分支假设证明结束 （5）p→┐q 当然假设证明结束 方法二 （1） p→(┐q∨(r∧s)) 前提 （2） p 由结论的前提作当然假设 （3） q 欲证┐q反证假设q （4）