节水洗衣机模型90783.pptVIP

“节水洗衣机”问题数学建模 问题的提出 假设和定义 建立模型 分析和求解 结论和讨论 1 问题的提出 我国淡水资源有限，节约用水人人有责。洗衣机在家庭用水中占有相当大的份额，目前洗衣机已非常普及，节约洗衣机用水十分重要。假设在放入衣物和洗涤剂后洗衣机的运行过程为：加水-漂水-脱水-加水-漂水-脱水-…-加水-漂水-脱水（称“加水-漂水-脱水”为运行一轮）。请为洗衣机设计一种程序（包括运行多少轮、每轮加多少水等），使得在满足一定洗涤效果的条件下，总用水量最少。选用合理的数据进行计算。对照目前常用的洗衣机的运行情况，对你的模型和结果作出评价。 问题的分析 1、若用水量为0，显然洗不净衣物；若用水量无穷大，则肯定浪费水；所以必然存在刚好“洗净”衣物的“最少”用水量。 2、洗衣要加入洗涤剂，因此“污物”是衣服原有污物和洗涤剂的总和。所以洗衣机的基本原理是“溶污物+脱污水”。 3、因此，“节水洗衣机”问题的基本要点是： （1）污物的溶解情况如何？需用“溶解特性”刻画。 （2）每轮脱去污水后污物减少情况如何？需用系统的动态方程表示。 （3）问题的目标是什么？（最少的用水量）约束条件又是什么？（一定程度的干净） 2 假设和定义 2.1 基本假设 仅考虑离散的加水方案，即每次脱水完后全换成清水进行下一次漂洗。 每次洗漂加水量不能低于 ，否则洗衣机无法转动；加水量不能高于 ，否则会溢出。设 每次洗漂的时间是足够的，以便衣服上的脏物充分溶入水中从而使每次所加的水充分利用 脱水时间也是足够的，以使脏水充分脱出，即让衣服所含的脏水量达到一个极限，设这个极限为一个大于0的常数 ，并由于脱水时不另加水故 2.2 变量定义 设共进行 n 轮“加水-洗涤-脱水”的过程，依次为第0轮，第1轮，…，第 轮 第 轮用水量为 衣服上的初始脏物为 ，在第 轮脱水之后的脏物量为 说明：除首轮外，每轮用水量实际包括该轮 加水量和衣物中上轮脱水后残留的水量。 3 建立模型 3.1 溶解特性和动态方程 在第 轮洗漂之后和脱水之前（第 轮脱水之后） 脏物量 变成了两部分： 其中 表示已溶入水中的脏物量， 表示尚未溶入水 中的脏物量。 与第 轮的加水量 有关，总的规律 应是， 越大 越大，且当 时， 最小（＝0， 因为此时洗衣机处于转动临界点，有可能无法动）。 注意：pk和qk都是过渡变量。 3 建立模型 3.1 溶解特性和动态方程 当 时， 最大（ 此时假设 ， 其中 称为‘溶解率’）。 综上所述，简单地选择线性关系表示这种溶解特 性则有： 现在想建立xk+1与xk之间的关系式？ 在第 轮脱水之后，衣服上尚有脏物由两部分 组成：一是尚未溶入水中的脏物量 ，二 是衣服里所含脏水中溶解的赃物 于是第 轮完成之后衣服上尚存的脏物总量为： 将（3.1.2）代入上式整理后得系统动 态方程： 3.2 优化模型 由于 是洗衣全过程结束后衣服上残存的脏物 量，而 是初始脏物量，故 反映了洗净效果。 由系统动态方程（3.1.4）可得： 此时总用水量为： 3.2 优化模型 于是可得优化模型如下： 若令： 则优化模型变成为更简洁的形式： 4 分析与求解 4.1 最少洗衣轮数 定义函数 （4.1.1） 易知 （4.1.2） 可见r(t)是区间[0,1]上的单调减函数，所以 （4.1.3） 第k轮的洗衣效果为（由3.1.4式可知） （4.1.4） 由此不难得出n轮洗完后洗净效果最多可达到 给定洗净效果的要求 ，则应有