北大06和08数分考研试题的及解答.docVIP

例14.2.7 求Laplace积分。 解法一 我们知道， 利用Fourier变换的反演公式，得 ， ， ， 故有 。 解法二 令，由于， ， 可以证明上述累次积分次序可交换，即 ， 已知，对于，有 ， 所以 ， 记， 由于，所以当时，单调下降， 显然有， 又对于任意，当时，对任何，有 ， 从Dirichlet判别法，可知关于一致收敛， 即关于一致收敛， ， 再由的任意性，可得 ，， 于是 ， 记在上连续， 因为， 又收敛，所以关于一致收敛， 对任意，对，有，又收敛， 从而关于一致收敛， 又， 又收敛，对任何，均有 ， 显然 ， 且关于是一致的， 又， 所以 ， 即得。 北京的大学2006年数学分析考研试题 一 确界存在原理是关于实数域完备性的一种描述，试给出一个描述实数域完备性的其它定理，并证明其与确界存在原理的等价性。 二 设函数，求在处二阶带Peano余项的Taylor展开；问在上哪些关于极值的判别点，这些点是否为极值点，说明理由。 三 设， （1）证明方程在上确定唯一的隐函数； （2）求的极值点。 四 计算第二型曲面积分，其中曲面是椭球面外侧。 五 证明广义积分收敛，并计算此积分。 六 设是定义在上，固定时，对连续，设取定，对于任意，极限收敛。证明：二重极限对任意，极限在上一致收敛。 七 若函数在区间上有界，给出证明在上和的极限收敛的Cauchy准则。 八 设是上一致连续函数列，满足存在常数，使得对于任意和，恒有，假定对中任意区间都有，证明：对任意区间以及上绝对可积函数，恒有。 九 设存在一区间使得两个Fourier级数和都在上收敛，并且其和函数在上连续且相等，问对于任意自然数，是否成立？如成立，请证明；如不成立，加上什么条件后能保证成立，说明理由。 十 设在上内闭可积，证明：广义积分绝对可积的充分必要条件是：对于任意满足的单调递增序列，级数绝对收敛。 北京大学2006年数学分析考研试题解答 一 、书上有。 二、 解 ， ， ，，， ，，， ，，， 解之得：或， 得驻点，， 在点， ， ， ， ， 不为极值点， 在点， ， ， ， ，， 所以在处取得极大值。 三 、证明 （1）显然当时，满足方程， 对每一，是关于的三次多项式，必有实根，存在，满足， 又， 于是关于是严格单调递增的，所以存在唯一的，使得 ，， 即方程在上确定唯一的隐函数； （2）当时，， ， 在内无极值点， 当时，， ， 在内无极值点， 由 ， 可知在处达到极大值，所以的极大值点为。 四 、解 由高斯公式，得 。 五、 证明 由， 由Dirichlet判别法，可知收敛，显然收敛， 所以收敛， 对，考虑，由Abel判别法，可知此积分关于一致收敛， 所以在上连续。 对，，， 关于一致收敛，积分可以交换次序， 于是 ， 故。 六、 证明 充分性 设极限在上一致收敛，由 及题设条件知，在处连续，由，即得二重极限 ； 必要性 对每一，由，，存在，当， ， ， 有 ， 在上式中，固定，让取极限，则得， ， 显然覆盖了， 利用有限覆盖定理，可得，对上述，存在，当，，对任意，有， 即得在上一致收敛。 七、 解 对任意，存在，对任意分割， 任取，， 对任意分割，任取，， 当， 时，都有 ， 八 、证明 任意固定区间，任取定上的可积函数，对任意，存在阶梯函数，使得 ， 由题设条件可知， ， 即得。 九 、 十 证明 必要性 设绝对可积，则存在，必有存在，必有对于任意满足的单调递增序列，存在，级数收敛， 由，得收敛，即绝对收敛，必要性得证。 充分性 由题设条件，可知对于任意满足的单调递增序列，级数收敛，从而收敛，要证收敛，只需证收敛，存在阶梯函数，使得 ， 在每个区间上，选取， 使得在上同号， ， 由题设条件收敛， 于是，得到收敛，收敛， 再由 ， 得收敛，收敛，即绝对收敛。 北京大学2008年数学分析考研试题 1 证明：有界闭区间上的连续函数一致连续。 2 是否存在上的连续函数，满足，证明你的结论。 3 数列，满足任意，，求证无界。 4 在上的无穷次可导函数，，令，，证明：