和谐统一的数学思想——数形结合.pdfVIP

· 辅教导学 · 数学通讯(2O08年第 22期) 17 和谐统一的数 学思想 —— 数形结合 黄汉桥 (湖北省襄樊市第一中学，441ooo) 数形结合的思想方法，其实质是将抽象的数学 M (2，O)为圆心、半径为 的 语言与直观的图象有机地结合起来，关键是代数问 圆．而 一 则表示圆上 题与图形之间的相互转化，它可以使代数 问题几何 Z Z —— U 一、一 化、几何 问题代数化 ；它包含 “以形助数”和 “以数辅 的点A(x，)与原点 0(0，O) D＼＼＼、M ／i 形”两个方面．数形结合的应用主要有两种情形 ：① 的连线的斜率 。实质上是求 — ／／／ 借助形的生动和直观性来 阐明数之间的联系，即以 直线 OA 的斜率的最大值． 形作为手段 ．数作为 目的．例如运用函数的图象来直 由图 1可知，当点A在第 图 1 例 2图 观地说 明函数 的性质 ；② 借助数 的精确性和严密性 一 象限，且 OA与圆相切时，OA 的斜率最大，此时， 来阐明形的某些属性，即以数作为手段 ，形作为 目 lOMI一2，IAMI一 ，．tan~AOM 一√， 的．例如，运用 曲线的方程来精确地阐明曲线的几何 。 ． ． ( )… 一 Z 性质． 点评 如果用代数方法 ，显然难 以下手 ，因此应 采用数形结合的思想解题 ，解题的思想是根据 考虑用数形结合的方法 ，将方程转化成 曲线 ，求 曲线 数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其 上一点与原点0(0，O)构成直线斜率的取值范围，使 代数意义，又揭示其几何直观，使数量关系的精确刻 问题化难为易。化繁为简． 画与空间形式的直观形象巧妙、和谐统一地结合在 Jl 一 起 ，充分利用这种结合 ，寻找解题思路 ，使 问题化 例 3 已知 z，Y满足 + l0 难为易，化繁为简，从而得到解决． Zy 例 1 已知实数 z，满足 3z+4y～i一0，求 (z 9一 l，求 Y一3x的最值． 、＼、／一 — 1)+ (～2) 的最小值． 解析 求函数 b— y一3x ／1 解析 (一1)。+ (一2) 的几何意义是：动点 在限定条件 + =1下的最 (，)到点 (1，2)的距离的平方，而动点 (z，)是在 lO 0 值 问题。常采用构