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第十章 多目标函数的最优化方法 实际工程问题中，常希望有多项指标达到最优值，所以问题包含了多个目标函数。例如设计一个新的工艺过程，希望产量高、质量好、投资少、消耗低、环境污染少、安全程度大等等。 多目标函数最优化问题的数学模型： min f1(x) min f2(x) …… min fp(x) s.t. gi(x)≤0 i=1,2,…, l hj(x)=0 j=1,2,…,m V表示求向量函数的最优 引进向量函数 f(x)=[f1(x),f2(x),…,fp(x)]T，上式可改写为 V-min f(x) x ∈ S 各目标函数之间往往是相互影响相互制约的，有时是相互矛盾的，不能同时达到最优，有时某一个点是一个目标函数的最优点，但对另一个目标函数却是最差点。因此，这要求在各目标之间进行协调，相互作出适当的“让步”，以便取得整体最优方案。 S（f） f2 f1 S（x） 映射 多目标优化问题自变量空间中可行域与解空间中可行域的对映关系 §10.1 多目标最优化问题的解 多目标问题与单目标问题的一个重要区别：单目标问题的任意两个解都是可以比较其优劣的，但对多目标问题就不一定能进行优劣性的简单比较。 f2 f1 1 2 8 6 7 4 5 3 例如对如下的优化问题： min f1(x) min f2(x) s.t. x≥0 在“解空间”中存在如图所示的8个解 在图中，除解3、4、5之外，其它的解都可找到另一个比它更优。 对解3、4、5而言，它们之间无法比较优劣，而且也没有别的解比它们更 优，这种解在多目标优化问题中有特殊意义。 定义：设x* ∈ S，若对任意的x ∈S及 i=1,2,…,P，都成立fi(x*)≤fi(x)，则称x* 为多目标 问题的绝对最优解。 x*=0是该问题的绝对最优解。 例如 min f1=x2 min f2=x2+4 s.t. －4≤x≤4 －4 4 x f1 f2 0 不存在绝对最优解 又如 min f1=x2 min f2=(x－2)2 s.t. －4≤x≤4 －4 4 x f1 f2 0 可见，在研究多目标优化问题时，需要引入其它意义的解。 先引入三个不等式符号： 设 f(x(1)) =[f1(x(1)), f2(x(1)), …, fp(x(1))]T , f(x(2)) =[f1(x(2)), f2(x(2)), …, fp(x(2))]T （1）符号 “ ”: f(x(1)) f(x(2)) 表示 fi (x(1)) fi (x(2)), i=1,2,…,p 每个分量都严格小于 （2）符号 “ ≤ ”: f(x(1)) ≤ f(x(2)) 表示 fi (x(1)) ≤ fi (x(2)), i=1,2,…,p且至少有一个i0 ( 1 ≤ i0 ≤p)，成立fi0(x(1)) fi0(x(2)) 至少有一个分量严格小于 （3）符号 “ ≦ ”: f(x(1)) ≦ f(x(2)) 表示 fi (x(1)) ≤ fi (x(2)), i=1,2,…,p 可以都是全等于 定义：设x* ∈ S，若不存在x ∈ S 使 f(x) ≤f(x*)， 则称x*为多目标问题的非劣解。(有效解) 即在“≤”意义下，找不到更好的解。 定义：设x* ∈ S，若不存在x ∈ S 使 f(x) f(x*)， 则称x*为多目标问题的弱非劣解 (弱有效解) 。 即在“ ”意义下，找不到更好的解。 f2 f1 1 2 5 4 3 3和4是非劣解 3、4和5是弱非劣解 例10.1.3 分析下列问题的非劣解： min f1(x)=x2－2x min f2(x)=－