典型曲线曲率半径的物理求法.pdfVIP

· · 难点挑战 ２ 椭圆的曲率半径 ２ ２ ｘ ｙ 例 ２ 质点运动的椭圆轨道方程为： ＋ ２ ２ ａ ｂ ＝１． 试利用物理方法求 （ ， ） Ａ ａ ０ （ ，） ， 和Ｂ ０ ｂ 两点处的曲率半径 如 图 所示 ２ ． 解法 要用物理方法求 、 １ Ａ ， 图２ Ｂ两点的曲率半径 就要想象一 ， ， 种质点的运动 该质点运动的轨道是一椭圆 由简谐 山东 王光儒 ◇ ， 运动的合成知识 可把质点的椭圆运动看成 个互相 ２ ， 在物理竞赛中 经常碰到一些涉及典型曲线的曲 π 垂直的同频率且相位差为 的简谐运动的合成 设质 ２ ． ， 率半径的问题 曲率半径 在数学上有严格的意义和 ρ 点的运动方程为： ， ， 表达式 在曲线的方程已知的条件下 还需利用二阶 ， ｘ＝ａｃｏｓ ｔ ω ① ， 导数 对于参加物理竞赛的中学生来说 利用物理方 ． ， ＝ｂｓｉｎ ｔ ｙ ω ② 法求解曲率半径 较为简单 利用的运动学公式： ． ａ ＝ ρ ｎ ２ ２ 对应的轨道方程就是题中给出的椭圆方程． ｖ ｖ （ ， 可得 其中 是质点在曲线上的运动速度 ＝ ｖ ａ ρ ｎ （ ， ） ， ａ 的速度 是切向速度 又是质点在 方 ｎ Ａ ａ ０ ｖ ｙ ρ Ａ 是在曲线上某点运动时沿法线方向的加速度） ， ． 向振动时的最大速度 有 该类题目的基本思路是首先选择在此轨道上的 ｖ ＝ｂ ， Ａ ω ③ ， 一种运动 然后在此运动下给出轨道上观察点的运动 ， ， ： 此处质点受力沿 方向 即曲线的法向 大小为 ｘ ， 速率和法向加速度 最后由上式得到观察点的曲率 ２ ｋ ， ： ， ＝ｋａ 由简谐运动知识可得 ω ＝ 所以 ｆ 半径． ｍ ２ ＝ｍ ａ． ｆ ω ④ １ 抛物线的曲率半径 法向加速度为 ２ ａ ＝ω ａ． ⑤ ｎ － １ 例 将小球以 · 的初速度从楼顶平抛 １ １０ｍ ｓ ， （ ， ） 由式 和 得到Ａ ａ ０ 处曲率半径 ③ ⑤ 出去， · ２ ２ 如果小球做曲线运动的法向加速度为 ５ ｍ ｖ ｂ Ａ Ａ ＝ ＝ ． ⑥ － ２ ρ ， 问小球这时下降的高度及所在处轨迹的曲率半 ａ ａ ｓ ｎ （ ，） 、 、 ？（ ） 同理求得 处切向速度 法向加速度 曲率 径各为多少 空气阻力不计 Ｂ ０ ｂ ２ ２ ， ， ， 如图 所示 ｖ ａ １ ＝ａ＋ａ ｖ＝ｖ＋ｖ Ｂ ｇ ｔ ｎ ｘ ｙ ２ 半径： ， ， ｖ ＝ ａ ａ ＝ ｂ ＝ ＝ ． Ｂ ω ｎ ω Ｂ ρ ａ ｂ ｎ ａ １ － ２ ｎ · ， ， 当ａ＝５ｍ ｓ 时 ｃｏｓ ＝ ＝ 得 ＝６０°． ｎ θ θ 解法 我们还可以把此椭圆轨道方程选择成地 ２ ｇ ２ ， 球在太阳引力场中运动的一条轨道 然后由这个质点 的运动确定其曲率半径． ， 设质量为 的太阳位于焦点 处 如图 所 ｍ Ｆ ３ ０ １ ， 示 质量为 的地球绕太阳运动轨道是题中所给的椭 ｍ 圆 由地球在太阳引力场中运动机械能守恒和角动量 ． ， ： 守恒 可推出地球绕太阳运动的机械能可表示为 图 １ ｍ ｍ ０ ， 由几何知识得 与 的夹角 ｖ ｖ ＝６０°． ｘ θ Ｅ＝－Ｇ ． ① ２ａ － １ ， · ， 因为ｖ ＝ｖ 所以ｖ ＝ｖ ｔａｎ ＝１０３ ｍ ｓ ｘ ０ ０ θ ｙ 槡 １ ｍ ｍ ｍ ｍ ２ ０ ０ ２ 对于 点： ， Ａ ｍｖ －Ｇ ＝－Ｇ ｖ Ａ ｙ ２ ｒ ２ａ ｈ＝ ＝１５ｍ， ２ ｇ ， 其中ｒ＝ａ＋ｃ所以 ｖ ０ － １ · ｖ＝ ＝２ｖ ＝２０ｍ ｓ ． ０ （ ） Ｇｍ ａ－ｃ ｃｏｓ６０° ０ ｖ ＝ ． ② ２ ２ Ａ （ ） ａ ａ＋ｃ 槡 ｖ ｖ 根据ａ ＝ 得 ＝ ＝８０ｍ． ｎ ρ ａ 对于 点： ρ ｎ Ｂ ７１ 不要慨叹生活的痛苦！－－－慨叹是弱者． · · 难点挑战 ， ， ， ｍ ｍ ｍ ｍ 等距螺旋运动 且运动中速率不变 所以可以知道 ｖ １ ２ ０ ０ 竖 ｍｖ －Ｇ ＝－Ｇ ， ２ Ｂ ｒ ２ａ ； 在运动中方向和大小均保持不变 在运动中大小不 ｖ 水 ， ， Ｇｍ 变 方向不断变化 其运动相当于在同一水平面内半 ２ ２ ０ ， 其中ｒ＝ ｂ ＋ｃ ＝ａ 所以　ｖ ＝ ． ③ 槡 Ｂ ａ 槡 径为 的匀速圆周运动 则 Ｒ ． ｖ＝ｖ ＋ｖ ． 水 竖 利用质点做曲线运动的法向动力学方程 摩托车的加速度为 ２ ｍｖ （ ） ｖ ＋ｖ