传热学教案 第4章.pdfVIP

《传热学》 （《Heat Transfer》） 课程编号 总学时 72 学时 总学分 4.5 先修课程 适合专业 所属院系部 动力工程系 所属教研室 工程热物理教研室 §第9 讲 《4 －1 导热问题数值求解的基本思想及内节点离散方程的建立》 §第9 讲 《4 －2 边界节点离散方程的建立及代数方程的求解》 §第10 讲 《4 －3 非稳态导热问题的数值解法》 §第10 讲 《4 －4 导热问题数值计算实例》 教案执笔： 教案审核： 制定日期： §第9 讲1 《4 －1 导热问题数值求解的基本思想及内节点离散方程的建立》 教学目标 一、《教学目标》 了解：导热问题数值解法的指导思想，利用泰勒级数展开建立非稳态导热节点方程的方 法； 熟悉：非稳态导热问题数值求解的基本思想及求解步骤，显式稳定性的判定方法； 掌握：有限差分法的基本原理、节点温度差分方程的建立方法、节点温度差分方程组的 求解方法及非稳态导热问题的数值解法，利用热平衡方法建立非稳态导热物体节点的离 散方程。 二、《教学重点》 非稳态导热问题数值求解的基本思想； 利用热平衡法和泰勒级数展开法建立节点的离散方程的方法。 三、《教学难点》 非稳态导热问题网格划分，利用热平衡建立非稳态导热物体内部及各种边界的节点方 程。数值解法的实质；非稳态导热问题的两种差分格式及其稳定性。 四、《内容和要点》 要点：非稳态导热问题数值求解的基本思想、非稳态网格划分方法及节点方程建立。 求解导热问题实际上就是对导热微分方程在定解条件下的积分求解，从而获得分析解。 但是，对于工程中几何形状及定解条件比较复杂的导热问题，从数学上目前无法得出其分析 解。随着计算机技术的迅速发展，对物理问题进行离散求解的数值方法发展得十分迅速，并 得到广泛应用，并形成为传热学的一个分支——计算传热学（数值传热学），这些数值解法 主要有以下几种：①有限差分法；②有限元方法；③边界元方法。 数值解法能解决的问题原则上是一切导热问题、特别是分析解方法无法解决的问题，如： 几何形状、边界条件复杂、物性不均、多维导热问题。 1．分析解法与数值解法的异同点： 相同点：根本目的是相同的，即确定 ①t f x ,y ,z ；②Q g x ,y ,z ,τ 。 不同点：数值解法求解的是区域或时间空间坐标系中离散点的温度分布代替连续的温度 场；分析解法求解的是连续的温度场的分布特征，而不是分散点的数值。 数值求解的基本思路及稳态导热内节点离散方程的建立 2 ．解法的基本概念 实质：对物理问题进行数值解法的基本思路可以概括为：把原来在时间、空间坐标系中 连续的物理量的场，如导热物体的温度场等，用有限个离散点上的值的集合来代替，通 过求解按一定方法建立起来的关于这些值的代数方程，来获得离散点上被求物理量的 值。该方法称为数值解法。这些离散点上被求物理量值的集合称为该物理量的数值解。 基本思路：数值解法的求解过程可用框图 4-1 表示。 由此可见： 1 物理模型简化成数学模型是基础； 2 建立节点离散方程是关键； 3 一般情况微分方程中，某一变量在某一坐标方向所需边界条件的个数等于该变量在 该坐标方向最高阶导数的阶数。 数值求解的步骤：如图 4-2 a ，二维矩形域内无内热源、稳态、常物性的导热问题采用 数值解法的步骤如下： 1 建立控制方程及定解条件 控制方程：是指描写物理问题的微分方程 针对图示的导热问题，它的控制方程（即导热微分方程）为： 2 2 ? t ? t + 0 a ?x 2 ?y 2 边界条件： x 0 时，t t0 ?t x H ，?λ [ , ? ] h2 t H y t2 ?x x H ?t y 0 ，?λ [ ,0 ? ] h t x t ?y 1 f y 0 ?t y W，?λ [ , ? ] h t x W t ?y 3 f y w 2 区域离散化（确立节点） 用一系列与坐标轴平行的网格线把求解区域划分成若干个子区域，用网格线的交点作 为需要确定温度值的空间位置，称为节点（结点），节点的位置用该节点在两个方向 上的标号m,n 表示。 相邻两节点间的距离称步长。△x ,△y 每个节点都可以看成是以它为中心的一个小区域 的代表把节点代表的小区域称为元体（又叫控制容积），如图4-2 b 。 3 建立节点物理量的代数方程（离散方程） 节点上物理量的代数方程称离散方程。其过程如下： 1 首先划分各节点的类型； 2 其次，建立节点离散方程； 3 最后，代数方程组的形成。 对节点 m,n 的代数方程，当△x △y 时，有： 1 tm ,n tm+1,n +tm?1,n +tm ,n+1 +tm ,n?1 b 4