§3.4线性空间、基、维数和坐标.pdfVIP

一、线性空间的定义 线性空间是线性代数最基本的概念之一，也是 一个抽象的概念，它是向量空间概念的推广。 线性空间是为了解决实际问题而引入的，它是 某一类事物从量的方面的一个抽象，即把实际问题 看作向量空间，进而通过研究向量空间来解决实际 问题。 定义 设F是数的集合，若其满足 （1） 0, 1 ∈F （2 ） ∀a, b ∈F，均有 a +b, a −b, a ×b, a ÷b (b ≠0) ∈F 则称F是一个数域。 R，实数域 Q，有理数域 常用数域 C，复数域 F n {(a , , a ) | a ∈ , i 1, , n} 1 n i F F m×n {[aij ]m×n | aij ∈ , i 1,2, , m ；j 1,2, , n} F 2 n F [x] {a +a x +a x ++a x ) | a ∈ , 0 1 2 n i F i 0,1, , n ；n 0,1,2, } F [x] f x f x ∈ x n { ( ) | ( ) F[ ], f x n f x ( )的次数小于 , 或 ( ) ≡0} C[a,b] { f ( x ) | f ( x )是闭区间 [a , b ]上的连续函数 } V 定义 设 是一个非空集合，F为数域．如果 对于任意两个元素α, β ∈V ，总有唯一的一个 γ ∈V α β 元素 与之对应，称为元素 与 的和，记作 γ α+β 若对于任一数k ∈F 与任一元素α ∈V，总有唯 δ ∈V α 一的一个元素 与之对应，称为 与 的数量积， k 记作 δ kα 如果上述的两种运算满足以下八条运算规律， V 那么 就称为数域F上的线性空间： 对 α, βγ, ∈V, k, l ∈F，总有 (1) α+β β +α; ( ) ( ) (2) α+β +γ α+ β +γ ; (3) , , 在V中存在零元素θ 对任何α ∈V 都有 α+θ α; α ∈ α 负元素 −α ∈