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第6章 代数系统初步 第3篇 代数系统 第6章 代数系统初步 定义代数结构之前，先说明在一个集合上的运算. 6.1 代数运算 1. 代数运算 定义 设X是个非空集合, f: Xn →X的映射，则称f为X中的一个n元运算。 其中n称为运算的元数或阶。 当n=1时，称f为一元运算， 当n=2时，称f为二元运算。（重点讨论二元运算） 注 X中的任意两个元素进行二元运算f之后，其运算结果仍然在X之中——封闭性 二元运算举例 设A={x|x=2n,n?N } 问：乘法运算是否封闭？对加法运算呢？ 举例 判断乘法运算是否在下列各N的子集上封闭？ (1)A1={0,1} (2)A2={1,2} (3)A3={x|x为素数} (4)A4={x|x为偶数} (5)A5={x|x为奇数} 二元运算性质举例 在N上定义两个二元运算*和△，对任意的x,y∈N，有： x*y=max(x,y) x△y=min(x,y) 验证：*和△满足吸收律。 解答 举例 已知二元运算*、? 、⊕的运算表，求各运算的特异元素。 解答 (1)第2、4行没改变 β和δ均为左幺元； 无右幺元； (2)无左、右零元； (3)无逆元； (4)α、γ、δ均为等幂元。 解答 (1)第1行没改变，所以α为左幺元； 第1列没改变，所以α为右幺元； ∴ α为幺元 (2)无左、右零元； (3)α-1＝α;β-1＝β;γ-1＝γ; (4)α为等幂元。 解答 (1)第1行没改变，所以α为左幺元； 第1列没改变，所以α为右幺元； ∴ α为幺元 (2)无左、右零元； (3)α-1＝α;β-1＝γ; γ-1＝β;δ-1 ＝ε; ε-1 =δ; (4)α、 δ为等幂元。 代数系统举例 设A={1，2，3，4，6，12} A上的运算*定义为：a*b=|a-b| （1）写出二元运算的运算表； （2）A,*能构成代数系统吗？ 解答 由运算表可知*运算在集合A上不封闭 所以： A,*不能构成代数系统 代数系统举例 N4={0，1，2，3} , i+4j=(i+j)(mod4) 问： N4 ， +4是代数系统吗？ 同态的一般定义(略) 设V1=S1，Ω1 ，V2=S2，Ω2是两个同类型的代数系统； f: Ω1→Ω2为类型映射，如果存在函数 g：S1→S2 ，使得对任意的n元运算ω∈Ω1及任意的元素a1,a2,…,an∈S1均有： g(ω(a1,a2,…,an))=ωf(g(a1),g(a2),…g(an)) 则称V1与V2同态。 解释 两个代数系统同态： （1）两个代数系统同类型； （2）运算的象=象的运算 同态的特点 （1）g映射可以是内射、单射、满射、双射； （2）g(S1)? S2 同态示意图 同态举例 证明：I，×和B，*是同态的，其中： B={正，负，零}，*运算的运算表如下： 解答 (1)显然I，×和B，*是同类型的； (2)g:I→B (3)运算的象=象的运算 ①i0,j0时:g(i×j)=正，g(i)*g(j)=正*正=正 ②i0,j0时:g(i×j)=负，g(i)*g(j)=正*负=负 ③i0,j=0时:g(i×j)=零，g(i)*g(j)=正*零=零 ④i0,j0时:g(i×j)=负，g(i)*g(j)=负*正=负 ⑤i0,j0时:g(i×j)=正，g(i)*g(j)=负*负=正 ⑥i0,j=0时:g(i×j)=零，g(i)*g(j)=负*零=零 ⑦i=0,j0时:g(i×j)=零，g(i)*g(j)=零*正=零 ⑧i=0,j0时:g(i×j)=零，g(i)*g(j)=零*负=零 ⑨i=0,j=0时:g(i×j)=零，g(i)*g(j)=零*零=零 单一同态举例 证明 (1)显然R,+和 R, ? 同类型 (2)运算的象=象的运算 对于任意的x,y?R，有： g(x+y) =2x+y =2x?2y=g(x)?g(y) (3) g映射是单射函数 定理 给定X，ο，⊙和Y，*，?且f为其满同态映射，则 (1) ο或⊙满足结合律?*或?也满足结合律。 (2) ο或⊙满足交换律?*或?也满足交换律。 (3) ο对于⊙满足分配律?*对于?满足分配律。 (4) e1和e2分别是关于ο和⊙的幺元?f(e1)和f(e2)分别为关于*和?的幺元。 (5)θ1和θ2分别是关于ο和⊙的零元?f(θ1)和f(θ2)分别为关于*和?的零元。 (6) 对每个x∈X均存在关于ο的逆元x-1 ?对每个f(x)∈Y也均存在关于*的逆元f(x-1)； 定理 给定X，ο，⊙和Y，*，?且f为其同构映射，则 (1) ο或⊙满足结合律?*或?也满足结合律。 (2) ο或⊙满足交换律?*或?也满足交换律。 (3) ο对于⊙满足