现代控制理论第三章.docVIP

第三章 线性控制系统的能控性和能观性 在现代控制理论中，能控性和能观性是卡尔曼（Kalman）在1960年首先提出来的，它是最优控制和最优估值的设计基础。 能控性和能观性是分别分析对状态的控制能力以及输出对状态的反映能力。 §3－1 能控性的定义 能控性所研究的只是系统在控制作用的作用下，状态矢量的转移情况，而与输出无关。 矢量的线性无关与线性相关： 如果式中的常数满足 ,则把向量叫做线性无关。 例如向量 便是线性无关。 若向量中有一个向量为其余向量的线性组合， 即： 则称向量为线性相关。 例如向量 便是线性相关。 又例如在式中,式中系数并不全为零。故为线性相关。 具有约旦标准型系统的能控性判据 1．单输入系统 先将线性定常系统进行状态变换，把状态方程的阵和阵化 为约旦标准型,再根据阵确定系统的能控性。 具有约旦标准型系统矩阵的单输入系统，状态方程为，或。其中：，各根互异。其中：（特征值有重根的） ， 下面列举两个二阶系统，对其能控性加以剖析。 例：1） 从上式看出与无关，即不受控制，因而只有一个特殊状态。是能控制状态，故为状态不完全能控的，因而为不能控系统。 例：2） （为约旦型） 虽然与无直接关系，但它与是有联系的，而却是受控于的，所以系统的各状态完全能控的。 几点结论： 1）系统的能控性，取决于状态方程中的系统矩阵和控制矩阵。系统矩阵是由系统的结构和内部参数决定的，控制矩阵是与控制作用的施加点有关的。因此系统的能控性完全取决于系统的结构、参数以及控制作用的施加点。 2）在为对角线型矩阵的情况下，如果的元素有为0的，则与之相应的一阶标量状态方程必为齐次微分方程，而与无关。这样，该方程的解无强制分量，在非零初始条件时，系统状态不可能在有限时间内，衰减到零状态。从状态空间上说，是不完全能控的。 3）在为约旦标准矩阵的情况下，由于前一个状态总是受下一个状态的控制，故只有当中相应于约旦块的最后一行的元素为零时，相应的为一个一阶标量齐次微分方程，而成为不完全能控的。 4）在结构图中与无关的孤立方块，其自由解是，故为不能控状态。(见p84例题) 一．线性连续定常系统的能控性定义 设线性定常系统 能控性定义：如果存在一个分段连续的输入，能在有限时间区间内，使系统由某一初始状态转移到指定的任一终端状态，则称此状态是能控的。若系统的所有状态都是能控的，则称此系统是状态完全能控的。 几点说明： 1．在线性定常系统中，为简便，可以假定初始时刻，初始状态为，而任意终端状态就指定为零状态， 2．假定，而为任意终端状态，若存在一个无约束控制作用，在有限时间内，能将由零状态驱动到任意。 3．在讨论能控性的同时，控制作用从理论上说是无约束的（而实际上是不可能的）其取值并非是唯一的，我们关心的只是它能否将驱动到，而不计较的轨迹如何。 二．对于离散时间系统 对于单输入的阶线性定常离散系统 是标量控制作用，它在 区间内是个常值。若存在控制作用序列能将第步的某个状态在上到达零状态，（的有限数）就称此状态是能控的。若系统在第步上的所有状态都是能控的，那么此系统是状态完全能控的，称为能控系统。 三．直接从A与B判别系统的能控性 1．单输入系统： 线性连续定常单输入系统， 如果能用一个无约束的控制信号，在有限的时间内，使初始状态转移到任一终止状态，这个系统称为可控系统。如果系统中各个状态都可控，我们称之为完全能控系统。 对状态方程的解： （3—17） 对任意的初始状态矢量，应能找到，使之在有限时间内转移到零状态，令 ， 上式得： 左边同乘一个 （3—18） 根据凯莱—哈密顿定理，的任一次幂，可由其幂的和表示 （对任何的） 故： (3－19) 其中： 将上式代入式（3－18）有 （3－20） 其中 其中， 由于为标量函数，又是定限积分，所以也是标量，将式（3－20）写成矩阵形式 （3－21） 要是系统能控，则对任意给定的初始状态，应能从式（3－21）解出来。 （3－22）的逆存在。 因此必须保证系统秩等于（即满秩）即，当系统时，系统为不能控的，单输入系统，其能控的充分必要条件是由，构成的能控性矩阵必须是满秩。 例1： 不能控 例2： 为满秩，可控。 在单输入系统中，根据和还可以从输入和状态矢量间的传递函数阵确定能控性的充分必要条件。由式（1－64）知间的传递函数阵为 状态完全能控的充分必要条件是