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几何的基本观点 神乃几何学家。—— 柏拉图 德国大学有一个传统：任何人在获得教职时必须发表就职演说。1854年，被聘为G\ottingen 大学讲师的 G. F. B. Riemann 向上级提交了三个题目作为候选的就职演说标题。按惯例，上头将会在前两个题目中选择一个，所以 Riemann 只认真准备了前两个。但 Gauss 选择的是第三个。Riemann 仓促准备后便上阵了，结果整个大厅里只有 Gauss 一个人听得懂。这篇演讲成为几何学史上里程碑式的文献：《论几何学的基本假设》(\Uber die Hypothesen welche der Geometrie zu Grundeliegen)。 在这篇演讲中，Riemann 提出了流形的概念，并且指出：流形上赋予一个度量后，便可以研究其几何性质，如长度、角度、曲率等等。当时已经存在了两千年的球面几何和欧氏几何，以及新兴的双曲几何，都可以归结到 Riemann 的观点下来，即，曲率分别为常数+1,0,-1的几何。 1872年，23岁的 Felix Klein 在就任 Erlangen 大学教授时，发表了另外一篇对几何学影响深远的就职演说，这便是后人所说的Erlanger Program。Klein 提出，几何学所研究的是空间在变换群作用下不被改变的性质，并可以据此对几何学进行分类。例如，球面几何研究的就是 S^n 在群 O(n+1) 作用下不改变的性质，而欧氏几何研究的是 R^n 在平移、旋转、反射等变换下不改变的性质。 Riemann 和 Klein 对几何学的认识代表着几何学的不同侧面。Klein 的观点更为古典一些。Riemann 的思想在提出后的六十年中一直没被充分理解，也没有得到足够重视，直到广义相对论诞生后，它才进驻到几何学的中心。 时光跳转至20世纪70年代末。William P. Thurston 在研究三维拓扑的过程的中，提出了这样一个问题：按照 Klein 的观点，三维流形上可能有多少种有意义的几何？这个问题并不困难，梢加细致的讨论后，Thurston 得出答案：八种， 它们是： S^3 (三维球面几何)E^3 (三维欧氏几何)H^3 (三维双曲几何)S^2×E^1H^2×E^1NilSol\widetilde{PSL(2,R)} 后几种几何的确切含义可以参见[Th4]。在这八种中，最复杂、也最重要的是双曲几何。双曲几何，或称“非欧几何”，其创立过程在很多科普书籍里都有记叙(见[LZ])，这里不再赘述。Thurston 的工作在某种程度上表明，大多数三维流形上都可以有双曲几何，因而双曲几何对于三维流形便尤其重要。 参考文献： [LZ] 李忠，周建莹，“双曲几何”，湖南教育出版社 (1991). [Th4] W. P. Thurston, “Three-dimensional geometry and topology, PrincetonUniversity Press (1997). 造化爱几何 Direct arguments remain essential, but 3-dimensional topology has nowfirmly rejoined the main stream of mathematics. —— C. T. C. Wall Riemann 对几何的认识适用于任何微分流形：我们总可以给微分流形赋予一个Riemann度量，从而研究上面的几何。Klein 的观点就不是那么普适了，因为 Klein意义下的几何对度量的要求非常特殊，并不是所有的流形上都能有这样的几何。不过二维曲面上都可以有 Klein 式的几何，这就是 Riemann, Klein, Poincar\’e,Koebe 等人所证明的单值化(uniformization)定理的内容。举例子说，在可定向闭曲面里，S^2上当然是球面几何，T^2上则可赋予欧氏几何，双环面等更复杂的曲面上可以有双曲几何。 三维以上就没有这么好运了，Thurston 的天才创见就在于：提出了单值化定理在三维情形的类比，我们将在下面向读者简略介绍其内容。 类似于前面所介绍的曲面的连通和，对三维流形也可以有连通和的概念。拿两个三维流形，在每个里面挖去一个开的实心球，这样每个三维流形里就出现了一个空穴。然后把两个带空穴的流形沿着空穴的边界(是球面)粘起来，得到的就是两个流形的连通和。连通和的逆操作就称为连通和分解，即把一个三维流形沿着某个满足一定条件的球面割开，使之分为两块。然后沿着那个球面在每块上粘一个实心球。对每个得到的流形，还可以继续作连通和分解，直至无可再分。 任取一个