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几何五大模型 一、五大模型简介 （1）等积变换模型 ? ? 1、等底等高的两个三角形面积相等； ? ? 2、两个三角形高相等，面积之比等于底之比，如图①所示，S[sub]1[/sub]：S[sub]2[/sub]=a:b； ? ? 3、两个三角形底相等，面积在之比等于高之比，如图②所示，S[sub]1[/sub]：S[sub]2[/sub]=a:b； ? ? 4、在一组平行线之间的等积变形，如图③所示，S[sub]△ACD[/sub]=S[sub]△BCD[/sub]；反之，如果S[sub]△ACD[/sub]=S[sub]△BCD[/sub]， ? ?? ? 则可知直线AB平行于CD。 ? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ??? 2012-8-28 10:09 上传 下载附件 (20.94 KB) ? ? 例、如图，三角形ABC的面积是24，D、E、F分别是BC、AC、AD的中点，求三角形DEF的面积。 ? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ? 2012-8-28 10:09 上传 下载附件 (47.14 KB) （2）鸟头（共角）定理模型 ? ? 1、两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫共角三角形； ? ? 2、共角三角形的面积之比等于对应角（相等角或互补角）两夹边的乘积之比。 ? ?如图下图三角形ABC中，D、E分别是AB、AC上或AB、AC延长线上的点 ? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ??? 2012-8-28 10:09 上传 下载附件 (7.34 KB) ? ?? ??? ? ? 则有：S[sub]△ABC[/sub]：S[sub]△ADE[/sub]=（AB×AC）：（AD×AE） ? ? 我们现在以互补为例来简单证明一下共角定理！ ? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ? 2012-8-28 10:09 上传 下载附件 (4.51 KB) 如图连接BE，根据等积变化模型知，S[sub]△ADE[/sub]：S[sub]△ABE[/sub]=AD：AB、S[sub]△ABE[/sub]：S[sub]△CBE[/sub]=AE：CE，所以S[sub]△ABE[/sub]：S[sub]△ABC[/sub]=S[sub]△ABE[/sub]：（S[sub]△ABE[/sub]+S[sub]△CBE[/sub]）=AE：AC ，因此S[sub]△ADE[/sub]：S[sub]△ABC[/sub]=（S[sub]△ADE[/sub]：S[sub]△ABE[/sub]）×（S[sub]△ABE[/sub]：S[sub]△ABC[/sub]）=（AD：AB）×（AE：AC）。 例、如图在ΔABC中，D在BA的延长线上，E在AC上，且AB：AD=5:2，AE：EC=3:2， △ADE的面积为12平方厘米，求ΔABC的面积。 ? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ? 2012-8-28 10:09 上传 下载附件 (47.14 KB) ? ?? ?? ?? ? （3）蝴蝶模型 ? ? 1、梯形中比例关系(“梯形蝴蝶定理”) ? ?? ? 2012-8-28 10:23 上传 下载附件 (9.8 KB) 例、如图，梯形ABCD，AB与CD平行，对角线AC、BD交于点O，已知△AOB、△BOC的面积分别为25平方厘米、35平方厘米，求梯形ABCD的面积。 ? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ??? 2012-8-28 10:09 上传 下载附件 (89.67 KB) 2、任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理”)： ? ?? ?? ??? 2012-8-28 10:25 上传 下载附件 (8.93 KB) 例、如图，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，如果三角形ABD的面积等于三角形BCD面积的1/3，且AO=2、DO=3，求CO的长度是DO长度的几倍。 ? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ? 2012-8-28 10:09 上传 下载附件 (44.88 KB) ? ? ? ? 蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径，通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系。 （4）相似模型 ? ? 1、相似三角形：形状相同,大小不相等的两个三角形相似； ? ? 2、寻找相似模型的大前提是平行线：平行于三角形一边的直线和其他两边或两边延长线相 ? ?? ? 交，所构成的三角形与原三角形相似。 ? ? 3、相似三角形性质： ? ?? ?①相似三角形的一切对应线段(