文登考研数学--线性代数--习题集及其答案.docVIP

第一章 行列式 一. 填空题 1. 四阶行列式中带有负号且包含a12和a21的项为______. 解. a12a21a33a44中行标的排列为1234, 逆序为0; 列标排列为2134, 逆序为1. 该项符号为“－”, 所以答案为a12a21a33a44. 2. 排列i1i2…in可经______次对换后变为排列inin－1…i2i1. 解. 排列i1i2…in可经过1 + 2 + … + (n－1) = n(n－1)/2 次对换后变成排列inin－1…i2i1. 3. 在五阶行列式中=______. 解. 15423的逆序为5, 23145的逆序为2, 所以该项的符号为“－”. 4. 在函数 中, x3的系数是______. 解. x3的系数只要考察. 所以x3前的系数为2. 5. 设a, b为实数, 则当a = ______, 且b = ______时, . 解. . 所以a = b = 0. 6. 在n阶行列式D = |aij|中, 当i j时aij = 0 (i, j =1, 2, …, n), 则D = ______. 解. 7. 设A为3×3矩阵, |A| =－2, 把A按行分块为, 其中Aj (j = 1, 2, 3)是A的第j行, 则行列式______. 解. . 二．计算证明题 1. 设 计算A41 + A42 + A43 + A44 = ?, 其中A4j(j= 1, 2, 3, 4)是|A|中元素a4j的代数余子式. 解. A41 + A42 + A43 + A44 = 2. 计算元素为aij = | i－j|的n阶行列式. 解. 3. 计算n阶行列式(n ( 2). 解. 当 + =+ ++ =－ =－－= 0 当 4. 证明:奇数阶反对称矩阵的行列式为零. 证明: (n为奇数). 所以|A| = 0. 5. 试证: 如果n次多项式对n + 1个不同的x值都是零, 则此多项式恒等于零. (提示: 用范德蒙行列式证明) 证明: 假设多项式的n + 1个不同的零点为x0, x1, …, xn. 将它们代入多项式, 得关于Ci方程组 ………… 系数行列式为x0, x1, …, xn的范德蒙行列式, 不为0. 所以 6. 设 解. === = 第二章 矩阵 一. 填空题 1. 设(1, (2, (3, (, (均为4维向量, A = [(1, (2, (3, (], B = [(1, (2, (3, (], 且|A| = 2, |B| = 3, 则|A－3B| = ______. 解. = = 2. 若对任意n×1矩阵X, 均有AX = 0, 则A = ______. 解. 假设, (i是A的列向量. 对于j = 1, 2, …, m, 令, 第j个元素不为0. 所以(j = 1, 2, …, m). 所以A = 0. 3. 设A为m阶方阵, 存在非零的m×n矩阵B, 使AB = 0的充分必要条件是______. 解. 由AB = 0, 而且B为非零矩阵, 所以存在B的某个列向量bj为非零列向量, 满足Abj = 0. 即方程组AX = 0有非零解. 所以|A| = 0; 反之: 若|A| = 0, 则AX = 0有非零解. 则存在非零矩阵B, 满足AB = 0. 所以, AB = 0的充分必要条件是|A| = 0. 4. 设A为n阶矩阵, 存在两个不相等的n阶矩阵B, C, 使AB = AC的充分条件是______. 解. 5. = ______. 解. 6. 设矩阵= ______. 解. = =－ + = = 7. 设n阶矩阵A满足= ______. 解. 由得. 所以, 于是A可逆. 由得 8. 设=______. 解. = , , == 9. 设 解. |A| = －3－12 + 8 + 8 + 6－6 = 1 10. 设矩阵, 则A的逆矩阵= ______. 解. , 使用分块求逆公式 －= 所以 二. 单项选择题 1. 设A、B为同阶可逆矩阵, 则 (A) AB = BA (B) 存在可逆矩阵P, 使 (C) 存在可逆矩阵C, 使 (D) 存在可逆矩阵P和Q, 使 解. 因为A可逆, 存在可逆. 因为B可逆, 存在可逆. 所以 = . 于是 令 , . (D)是答案. 2.