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由质点的运动所引发的四边形的形状变化问题研究 例题：（2009年辽宁铁岭市）△ABC是等边三角形，点D是射线BC上的一个动点（点D不与点B、C重合），△ADE是以AD为边的等边三角形，过点E作BC的平行线，分别交射线AB、AC于点F、G，连接BE． （1）如图（a）所示，当点D在线段BC上时．①求证：△AEB≌△ADC； ②探究四边形BCGE是怎样特殊的四边形？并说明理由； （2）如图（b）所示，当点D在BC的延长线上时，直接写出（1）中的两个结论是否成立？ （3）在（2）的情况下，当点D运动到什么位置时，四边形BCGE是菱形？并说明理由． 评析：本题是辽宁铁岭市2009年中考数学试卷的倒第二题，是一个12分值的大题，在试卷中的份量很重。该题从一个质点D的运动引出一个大小在变化的等边三角形ADE，从而出现一个四边形BCGE的形状的讨论问题，这考查了学生对三角形的全等、特殊四边形（如平行四边形、菱形）的判定等知识的掌握情况，也利于学生的创新思维的培养。 解答过程： （1）①证明：∵和都是等边三角形， ∴．（1分） 又∵， ， ∴， ∴．（ 3分） ②法一：由①得， ∴． 又∵， ∴， ∴．（5分） 又∵， ∴四边形是平行四边形．（6分） 法二：证出，得．（5分） 由①得． 得． ∴四边形是平行四边形．（6分） （2）①②都成立．（8分） （3）当（或或或或）时，四边形是菱形．（9分） 理由：法一：由①得， ∴ 10分 又∵， ∴．(11分) 由②得四边形是平行四边形， ∴四边形是菱形．(12分) 法二：由①得， ∴．（9分） 又∵四边形是菱形， ∴（11分） ∴．（12分） 法三：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴（9分） ∴， ∴是等边三角形．（10分） 又∵，四边形是菱形， ∴， ∴(11分) ∴， ∵， ∴．(12分) A G C D B F E 图（a） 第25题图 A D C B F E G 图（b） 第25题图