新课程背景下 高中二次函数教学探微 苏教版.docVIP

新课程背景下 高中二次函数教学探微 淮安市钦工中学 胡海洋 摘 要：本文从高中二次函数的概念入手，进一步研究了二次函数的解析式、性质及应用，在对函数性质的研究中，渗透着数形结合的思想，在二次函数的应用中，建立起二次函数、一元二次方程、一元二次不等式之间的有机联系，有助于提高学生的思维能力、运算能力、想象能力和解决问题能力，为学生在高中阶段学习其它函数提供了基础和原型。 二次函数在高中数学中有着特殊的地位，对它的研究，是对进一步学习研究其它函数提供了一种函数原型。本文拟打算通过对二次函数的定义，单调性、对称性的刻画，描绘其在相关问题研究中的应用，以便见微知著，为对其它函数的教学提供原型启发。 一、对函数概念的进一步理解 1、用映射的观点定义函数 初中阶段已经讲述了函数的定义，进入高中后,在学习集合和映射的基础上，对函数的概念也进行了转变，主要是用映射观点来阐明函数，这里就以学生比较熟悉的函数（二次函数）为例来更深入的认识函数的概念。函数是对于非空的数集A、B，从一个集合A（定义域）到另一个集合B的映射?:A→B。使得集合B中的元素y=ax2+bx+c(a≠0)与集合A中的元素x对应，记为?(x)= ax2+ bx+c(a≠0)这里ax2+bx+c表示对应法则，又表示定义域中的元素x在值域中的象，从而使学生对函数的概念有一个较明确的认识。 例1：已知?(x)= 2x2+x+2，求?(x+1) 例2：设?(x+1)=x2-4x+1,求?(x) ２、研究函数的定义域及值域 例3：求函数y = 的定义域 例4：求函数y = 的值域 解决本题求值域的思想来自函数的概念，要求集合A（定义域）为非空的数集，也就是原式化至yx2-(y+1)x+y=0后，定义域要求此关于x的二次方程的未知数x一定要有解，故可利用△≥0求得x有解时对应的y的范围（也就是函数的值域）。 练习的定义域 (2)求函数y=的值域((x)=ax2+bx+c(a(0)，另外有顶点式((x)=a(x(k)2+h和根轴式((x)=a(x(x1)(x(x2)，根据问题的实际情况而设出解析式，通过方程（组）求解。其最一般的方法是待定系数法。 例1、已知抛物线y=ax2+2x+c的对称轴是x= 1，其最高点在直线y=2x+1上，求抛物线的方程。 例2、已知抛物线y=x2(2x+m与x轴有两个不同的交点A、B，其坐标分别是A(x1，0)、B(x2，0)，其中x1x2，且x12+x22=4。 （1）求这条抛物线的解析式； （2）设所求抛物线顶点为C，P是此抛物线上一点，且(PAC=900，求点P的坐标。 练习： 1、已知二次函数的图象与x轴交于两点A((3，0)、B(2，0)，且函数有最大值2。 （1）求二次函数的解析式； （2）设此二次函数图象的顶点为P，求(ABP的面积。 2、已知二次函数y=x2(kx+k+4的图象与y轴交于点C，且与x轴正半轴交于A、B两点，（点A在点B的左侧），若点A，B的横坐标是整数。 （1）确定这个二次函数的解析式并求它的顶点坐标； （2）若点D的坐标是(0，6)，点P(t，0)是线段AB上的一个动点，它可与点A重合，但不与点B重合，设四边形PBCD的面积为S，求S与t的函数关系式； 三、二次函数性质的研究 高中阶阶段要加强对抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点坐标、对称轴、最值、单调性等的研究，和对某些与二次函数有关的绝对值函数及图象的研究。学习单调性时，必须让学生对二次函数y=ax2+bx+c在区间（－∞，－及[－，+∞ 上的单调性的结论用定义进行严格的论证，使它建立在严密理论的基础上，与此同时，进一步充分利用函数图象的直观性，给学生配以适当的练习，学生逐步自地利用图象学习二次函数有关的一些函数单调性。 （1）y=|x2－|（2）y= 2-2|x|－练习y=3x2+2tx+6图象关于直线x=1对称,求实数t的值； (2)二次函数y=3x2+2(a-1)x+6在区间(-∞,1)上是减函数，求a的取值范围。 四、二次函数的相关应用 （一）、在二次方程中的应用 二次方程实根的分布问题，就是讨论二次函数的图象与x轴交点与坐标原点的位置关系的问题，因此，理解交点及二次函数系数（a─开口方向，a、b—对称轴，c—图象与y轴的交点）的几何意义，掌握二次函数图象的特点，是解决此类问题的关健。 例1、已知关于x的方程x2+(a+1)x+2a=0，分别在下列条件下，求实数a的取值范围。 （1）有一个根小于(1，有一个根大于1； （2）两根均在（(1，1）内。 例2、已知关于x的方程kx2(4kx+1=0的两个正根(、(满足：|lg((lg(|(1，试求实数k的取值范围。 例3、关于x的实系数方程x2+ax+b=0的两实根(、(，请