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基本不等式教学设计 一、教学过程 （一）创设情景，提出问题 在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去像一个风车，代表中国人民热情好客。 [问]你能在这个图中找出一些相等关系或不等关系吗？ 本背景意图在于利用图中相关面积间存在的数量关系，抽象出不等式。在此基础上，引导学生认识基本不等式。 （二）抽象归纳 一般地，对于任意实数a,b，有，当且仅当a＝b时，等号成立。 [问] 你能给出它的证明吗？ 特别地，当a0,b0时，在不等式中，以、分别代替a、b，得到什么？ 设计依据：类比是学习数学的一种重要方法，此环节不仅让学生理解了基本不等式不等式的来源，突破了重点和难点，而且感受了其中的函数思想，为今后学习奠定基础. 答案： 。 【归纳总结】 如果a,b都是正数，那么，当且仅当a=b时，等号成立。我们称此不等式为均值不等式。 其中称为a,b的算术平均数，称为a,b的几何平均数。 （三）理解升华 1.文字语言叙述：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。 2.联想数列的知识理解基本不等式 已知a,b是正数，A是a,b的等差中项，G是a,b的正的等比中项，A与G有无确定的大小关系？ 两个正数的等差中项不小于它们正的等比中项。 3.符号语言叙述： 若，则有，当且仅当a=b时，。 [问] 怎样理解“当且仅当”？（学生小组讨论，交流看法，师生总结） “当且仅当a=b时，等号成立”的含义是：当a=b时，取等号，即；仅当a=b时，取等号，即。 4.探究基本不等式证明方法： [问] 如何证明基本不等式？ 方法一：作差比较或由展开证明。 5.探究基本不等式的几何意义： 借助初中阶段学生熟知的几何图形，引导学生探究不等式的几何解释，通过数形结合，赋予不等式几何直观。进一步领悟不等式中等号成立的条件。 如图：AB是圆的直径，点C是AB上一点，CD⊥AB，AC=a,CB=b， 几何解释实质可认为是：在同一半圆中，半径不小于半弦（直径是最长的弦）；或者认为是，直角三角形斜边的一半不小于斜边上的高。 （四）基本不等式的应用 例1．用20cm长的铁丝折成一个面积最大的矩形，应当怎样折？ 教学设计：让学生思考，并在下面自己尝试计算，点一名学生在黑板上演示。教师在下面巡视辅导，再分析黑板上学生所作的答案。教师可简单作一下基本不等式应用的条件归纳。询问有同学用其它方法吗？如果你没学基本不等式能做吗？二次函数思想 （五）总结拓展，提升思想 问题9：通过本节课的学习，大家有哪些收获。 引导学生从怎样发现结论，证明结论，应用结论三个步骤了解研究问题的一般方法，并注意应用基本不等式的3个条件。 问题10：两数的几何平均数不大于它们的算术平均数能推广到三个数，甚至多个数的情况吗？ （六）探究归纳 下列命题中正确的是 ①对于任意实数a,b，均有； ②当时，由于，当且仅当时，即x=1时，等号成立。所以函数的最小值为2； ③当时，有；所以函数在的最小值为4。 以上命题均是根据基本不等式的使用条件中的难点和关键处设置的，目的是利用学生原有的平面几何知识，进一步领悟到不等式成立的条件，及当且仅当时，等号成立。这些“陷阱”要让学生自己往里跳，然后自己再从中爬出来，完全放手让学生自主探究，老师指导，师生归纳总结。 结论： 若两正数的乘积为定值，则当且仅当两数相等时，它们的和有最小值； 若两正数的和为定值，则当且仅当两数相等时，它们的乘积有最大值。 简记为：“一正、二定、三相等”。 （七）均值不等式求最值 （1）时，求的最小值； （2）时，求的最大值； （）若，求的最大值； （）若，求的最小值； 该题组的设计实际上是根据“一正、二定、三相等”三个条件设计的三个题组，整个设计由浅入深，教师在教学的过程中通过有效的提问，采用小组讨论、生生合作、师生探究的方式组织教学工作。教师课堂驾驭能力强，关注每一位学生，多数学生均有不同程度的收获。但教学过程中，教师只为了获得问题的结论，而不关注学生的思考过程。 二、课堂目标检测 （1）求的值域； （2）：若，求的最大值； （3）：设，求的最大值； 三、课堂小结 回顾本节课的主要内容：基本不等式及两个结论： 1、两个正数积为定值，则和有最小值。 2、两个正数的和为定值，则积有最大值。 简记为：“一正、二定、三相等”。 1