自动控制技术 教学课件 作者 贺力克 第2章 拉普拉斯变换及其应用.pptVIP

第2章 拉普拉斯变换及其应用 2.1 拉氏变换的概念 2.2 拉氏变换的运算定理 2.3 拉氏反变换 2.4 应用拉氏变换求解微分方程 2.1 拉氏变换的概念  若将实变量t的函数f(t)，乘以指数函数e-st（其中s=σ+jω， 是一个复变数）， 再在t 从0到∞区间对t进行积分， 就得到一个新的函数F(s)。 F(s)称为f(t)的拉氏变换式， 并可用符号L ［f(t)］表示。 上式称为拉氏变换的定义式，条件是式中等号的积分存在（收敛）. 拉氏变换是一种单值变换。f(t)和F(s)之间具有一一对应的关系。通常称f(t)为原函数， F(s)为象函数。 【例2-1】 求单位阶跃函数（Unit Step Function）1(t)的象函数。 解： 在自动控制系统中， 单位阶跃函数是一个突加作用信号， 相当于一个开关的闭合（或断开）， 单位阶跃函数的定义式为 由拉氏变换的定义得1(t)的象函数为 单位脉冲传递函数相当一个瞬时的扰动信号，它的拉氏式，由定义式有： 【例2-3】 求斜坡函数（Ramp Function）的象函数。 斜坡函数的定义式为 解：在自动控制系统中， 斜坡函数是一个对时间作均匀变化的信号。 在研究跟随系统时， 常以斜坡信号作为典型的输入信号。 同理， 根据拉氏变换的定义式有 【例2-4】求指数函数（Exponential Function）e-αt的象函数。 解 由式(2-1)， 有 2.2 拉氏变换的运算定理 ?在应用拉氏变换时， 常需要借助于拉氏变换运算定理， 这些运算定理都可以通过拉氏变换定义式加以证明。 下面介绍几个常用定理。 1 叠加定理 两个函数代数和的拉氏变换等于两个函数拉氏变换的代数和。 即 证 2、比例定理 K倍原函数的拉氏变换等于原函数拉氏变换的K倍。 即 （2-8） 3、 微分定理 在零初始条件下， 即f (0) =f ˊ(0) =…=f (n)(0)=0  L ［f n(t)］=snF(s) (2- 9) 在初始条件为零的前提下，原函数的n阶导数 的拉氏式等于其象函数乘以sn。 当初始条件f(0)=0时， 有  L ［f′(t)］=sF(s) 同理， 可求得 L ［f″(t)］=s2F(s)-sf(0)-f′(0) … L ［f (n)(t)］=snF(s)-sn-1f(0)-…-f (n-1)(0) 若具有零初始条件， 即  f(0)=f′(0)=…=f(n-1)(0)=0 则  L［f″(t)］=s2F(s) … L［f(n)(t)］=snF(s) 4、 积分定理 在零初始条件下, 5、延时定理 当原函数 延时 时间，成为 时，它的拉氏式为 （2-11） 上式表明，当原函数 延时 ，即成为 时，相应的象函数 应乘以因子 。 6、 终值定理 由于当s→0时， e-st→1， 所以上式左边可写成 2. 3 拉氏反变换 由象函数F(s)求取原函数f(t)的运算称为拉氏反变换（Inverse Laplace Transform）。