线性代数课后习题详解第三章.docVIP

第三章　向量组的线性相关性 1．设, 求及. 解 2．设其中, ,,求 解 由整理得 3．举例说明下列各命题是错误的: (1)若向量组是线性相关的,则可由线性表示. (2)若有不全为0的数使 成立,则线性相关, 亦线性相关. (3)若只有当全为0时,等式 才能成立,则线性无关, 亦线性无关. (4)若线性相关, 亦线性相关,则有不全为0的数, 使 同时成立. 解 (1) 设 满足线性相关,但不能由线性表示. (2) 有不全为零的数使 原式可化为 取 其中为单位向量,则上式成立,而 ,均线性相关 (3) 由 (仅当) 线性无关 取 取为线性无关组 满足以上条件,但不能说是线性无关的. (4) 与题设矛盾. 4．设,证明向量组 线性相关. 证明 设有使得 则 (1) 若线性相关,则存在不全为零的数, ;;;; 由不全为零,知不全为零,即线性相 关. (2) 若线性无关,则 由知此齐次方程存在非零解 则线性相关. 综合得证. 5．设,且向量组 线性无关,证明向量组线性无关. 证明 设则 因向量组线性无关,故 因为故方程组只有零解 则所以线性无关 6．利用初等行变换求下列矩阵的列向量组的一个最大无关组: (1) ; (2) . 解 (1) 所以第1、2、3列构成一个最大无关组. (2) ， 所以第1、2、3列构成一个最大无关组． 7．求下列向量组的秩,并求一个最大无关组: (1)　,,; (2)　,,. 解　(1)　线性相关. 由 秩为2,一组最大线性无关组为. (2) 秩为2,最大线性无关组为. 8．设是一组维向量,已知维单位坐标向量能 由它们线性表示,证明线性无关. 证明 维单位向量线性无关 不妨设: 所以　 两边取行列式，得 由 即维向量组所构成矩阵的秩为 故线性无关. 9．设是一组维向量,证明它们线性无关的充分必要条件 是：任一维向量都可由它们线性表示. 证明　　设为一组维单位向量，对于任意维向量 则有即任一维向量都 可由单位向量线性表示. 线性无关，且能由单位向量线性表示，即 故 两边取行列式，得 由 令则 由 即都能由线性表示，因为任一维向量能由单 位向量线性表示，故任一维向量都可以由线性表示. 已知任一维向量都可由线性表示，则单位向量组： 可由线性表示，由8题知线性无关. 10．设向量组:的秩为,向量组:的秩 向量组: 的秩,证明 证明 设的最大线性无关组分别为,含有的向量个数 (秩)分别为,则分别与等价,易知均可由 线性表示,则秩()秩(),秩()秩()，即 设与中的向量共同构成向量组,则均可由线性表示, 即可由线性表示,从而可由线性表示，所以秩()秩(), 为阶矩阵，所以秩()即. 11.证明. 证明:设 且行向量组的最大无关组分别为 显然,存在矩阵,使得 , 因此　 12．设向量组能由向量组线性表示为 ， 其中为矩阵，且组线性无关。证明组线性无关的充分必要条 件是矩阵的秩. 证明　若组线性无关 令则有 由定理知 由组:线性无关知，故. 又知为阶矩阵则 由于向量组:能由向量组:线性表示,则 　 综上所述知即． 若 令,其中为实数 则有 又,则 由于线性无关,所以 即 （1） 由于则(1)式等价于下列方程组: 由于 所以方程组只有零解.所以线性无关, 证毕. 13．设 问是不是向量空间？为什么？ 证明 集合成为向量空间只需满足条件： 若，则 若，则 是向量空间，因为： 且 故 故 不是向量空间，因为： 故 故当时， 14．试证:由所生成的向量空间就 是. 证明　 设 于是故线性无关.由于均为三维,且秩为3, 所以为此三维空间的一组基,故由所生成的向量空间 就是. 15．由所生成的向量空间记作,由 所生成的向量空间记作,试证 . 证明 设 任取中一向量,可写成, 要证,从而得 由得 上式中,把看成已知数,把看成未知数 有唯一解 同理可证: () 故 16．验证为的一个基,并把 用这个基线性表示. 解 由于 即矩阵的秩为3 故线性无关，则为的一个基. 设，则 故 设，则 故线性表示为 17．求下列齐次线性方程组的基础解系: (1) (2) (3). 解　(1) 所以原方程组等价于 取得 取得 因此基础解系为 (2) 所以原方程组等价于 取得 取得 因此基础解系为 (3)原方程组即为 取得 取得 取得 所以基础解系为 18．设,求一个矩阵,使,且 . 解　　由于,所以可设则由 可得 ,解此非齐次线性方程组可得唯一解 ，　故所求矩阵． 19．求一个齐次线性方程组,使它的基础解系为 . 解　　显然原方程组的通解为 ,() 即